BrocardFirst

1. Το πρώτο τρίγωνο του Brocard

Το πρώτο τρίγωνο του Brocard τριγώνου ABC σχηματίζεται από τις τομές {Α',B',C'} των ευθειών που ενώνουν τις κορυφές του τριγώνου με τα σημεία Brocard αυτού (δες Brocard.html ).

[1] Λόγω της ίδιας κλίσης προς τις πλευρές του ABC, που είναι η γωνία ω του Brocard του τριγώνου ABC, οι ευθείες αυτές τέμνονται επί των μεσοκαθέτων των πλευρών του ABC.
[2] Επίσης λόγω των γωνιών μεταξύ αυτών των ευθειών, που είναι 2ω, τα σημεία αυτά περιέχονται στον κύκλο του Brocard του τριγώνου ABC.
[3] Από το εγγράψιμο τετράπλευρο B'A'D'C' η γων(A'B'C') = γων(A'D'C'). Η τελευταία όμως ισούται με την γωνία στο A του ABC. Ανάλογα η γωνία στο A' ισούται με την Β και η C' με την C. Επομένως τα τρίγωνα ABC και A'B'C' είναι όμοια.
[4] Τα τρίγωνα ABC και A'B'C' έχουν το ίδιο κέντρο βάρους.
Τούτο έπεται από μιά γενική ιδιότητα των τριγώνων στις πλευρές των οποίων κατασκευάζουμε τρίγωνα όμοιο με δοθέν (δες Κέντρα βάρους (ΙΙ) ). Εδώ στις πλευρές του τριγώνου ABC κατασκευάζουμε τα όμοια τρίγωνα BCB' στην BC, CAA' στην CA και ABC' στην AB.
[5] Τα τρίγωνα ABC και A'B'C' είναι διπλά προοπτικά ως προς τα σημεία Brocard του τριγώνου ABC.

2. Το τρίτο σημείο του Brocard

Αποδεικνύεται (Johnson p. 234) ότι δύο τρίγωνα που είναι διπλά προοπτικά είναι και τριπλά προοπτικά. Αφού λοιπόν το ABC και το πρώτο τρίγωνο του Brocard A'B'C' είναι διπλά προοπτικά θα είναι και τριπλά. Το τρίτο κέντρο προοπτικότητας λέγεται τρίτο σημείο Brocard. Στην λίστα των κέντρων τριγώνων του Kimberling συμβολίζεται με Χ(76) έχει τριγραμμικές συντεταγμένες (1/a³, 1/b³, 1/c³) και είναι το ισοτομικό-συζυγές του συμμετροδιάμεσου σημείου. Στο προηγούμενο σχήμα είναι το κοινό σημείο των ευθειών {CC', AB', A'B}.

Δείτε ακόμη

Σημεία και γωνία του Brocard
Δεύτερο τρίγωνο του Brocard
Συμμετροδιάμεσο σημείο
Κέντρα βάρους (ΙΙ)

Βιβλιογραφία

Johnson, R. A. Modern Geometry: An Elementary Treatise on the Geometry of the Triangle and the Circle. Boston, MA: Houghton Mifflin, 1929, p. 234.
Lalesco, Trajan. La Geometrie du Triangle. Paris, Jacques Gabay, 1987, p. 62.
Kimberling, Clark. Encyclopedia of Triangle Centers http://faculty.evansville.edu/ck6/encyclopedia/ETC.html

Επιστροφή στο Γεωμετρικόν

http://users.math.uoc.gr/~pamfilos/