[alogo] 1. Συζυγία δύο σημείων / ευθειών

Δοθέντος κύκλου (c), δύο σημεία {X, Y} λέγονται συζυγή ως προς τον κύκλο όταν η πολική του ενός διέρχεται από το άλλο. Λόγω της δυικότητας πόλου-πολικής, σύμφωνα με την οποία άν η ευθεία (b) περιέχει τον πόλο της ευθείας (a) τότε και η (a) περιέχει τον πόλο της (b), η σχέση είναι συμμετρική. Επίσης αν την περιορίσουμε στα σημεία μιάς ευθείας (e) ορίζει μιά ενελικτική ομογραφική σχέση Y = F(X) της ευθείας στον εαυτό της (δες Ομογραφική σχέση ).
Ανάλογα δύο ευθείες λέγονται συζυγείς ως προς κύκλο όταν η μία περιέχει τον πόλο της άλλης.

[0_0]

Εξετάζω τώρα την απεικόνιση Y=F(X) που εισάγει η συζυγία σε μιά σταθερή ευθεία (e).
Εάν το X' είναι η προβολή του X πάνω στην πολική του pX, το τρίγωνο XX'Y είναι ορθογώνιο στο X' και τα {X,X'} είναι αντίστροφα (δες Αντιστροφή ) ως προς τον κύκλο (c).
Από αυτό έπεται ότι όλοι οι κύκλοι με διάμετρο XY είναι ορθογώνιοι στον (c). Καθώς είναι επίσης ορθογώνιοι στην ευθεία (e), έπεται ότι ανήκουν στην δέσμη κύκλων (II) που είναι ορθογώνιοι σε όλους τους κύκλους της δέσμης (I) που παράγεται από τα {c, e}.
Το είδος της δέσμης (II) εξαρτάται από την θέση της ευθείας (e) ως προς τον κύκλο (c).
[1] Εάν η (e) δεν τέμνει τον κύκλο (c), τότε η δέσμη (II) είναι του τύπου τεμνομένων κύκλων. Όλοι οι κύκλοι της δέσμης (II) διέρχονται από δύο σταθερά σημεία {E',E''} επί της ευθείας που είναι ορθογώνια στην (e) και διέρχεται από το κέντρο O του κύκλου. Η ευθεία αυτή είναι ο κοινός ριζικός άξονας όλων των κύκλων της δέσμης (ΙΙ). Τα σημεία {E', E''} είναι αρμονικά συζυγή ως προς τα {O, E}.
Σε αυτήν την περίπτωση η ομογραφία F δεν έχει σταθερά σημεία επί της ευθείας (e).
[2] Εάν η ευθεία (e) τέμνει τον κύκλο (c), τότε η δέσμη (II) είναι τύπου μη-τεμνομένων κύκλων με οριακά σημεία τα σημεία τομής {X0, X1} του κύκλου (c) και της ευθείας (e).
Σε αυτήν την περίπτωση η ομογραφία F έχει δύο σταθερά σημεία στην (e) που είναι ακριβώς τα {X0, X1}.

[alogo] 2. Συζυγία ως προς κωνική

Επειδή η έννοια της πολικής ορίζεται γενικώτερα γιά κωνικές και ισχύει η ίδια δυϊκότητα πόλου-πολικής, τους προηγούμενους ορισμούς μπορούμε να τους επεκτείνουμε αντικαθιστώντας τον κύκλο (c) με μιά μη-εκφυλισμένη κωνική: Και πάλι δύο σημεία {X,Y} λέγονται συζυγή ως προς την κωνική, εάν η πολική του ενός περνά από το άλλο. Και πάλι η σχέση είναι συμμετρική και ορίζει μιά ομογραφία Y = F(X) των σημείων της ευθείας e.

[0_0] [0_1] [0_2]
[1_0] [1_1] [1_2]

Η παραπάνω βασική εικόνα δείχνει δύο ζεύγη σημείων {X,Y} της ευθείας (e) που είναι συζυγή ως προς την κωνική c. Το σημείο E έιναι ο πόλος της (e) και οι ευθείες {Y'Y'', X'X''} είναι αντίστοιχα οι πολικές των {X, Y}. Από το θεώρημα του Pascal οι απέναντι πλευρές του τετραπλεύρου X'Y'X''Y'' τέμνονται σε δύο σημεία {Z, Z'} περιεχόμενα στην (e) και συνδεόμενα επίσης με την ομογραφική σχέση Z'=F(Z). Επί πλέον τα {Z,Z'} είναι αρμονικά συζυγή ως προς τα {X,Y}.
Οι προηγούμενοι ισχυρισμοί γιά την δέσμη (II) των κύκλων με διάμετρο XY μεταφέρονται σχεδόν αναλλοίωτοι σε αυτήν την περίπτωση. Το γενικό σχήμα μπορεί να απεικονισθεί με μιά κατάλληλη προβολική απεικόνιση στο σχήμα ενός κύκλου (c') και μιάς ευθείας (e'). Μέσω αυτής της απεικόνισεις αντιστοιχούν επίσης οι συζυγίες F και ορίζεται μιά επαγόμενη απεικόνιση μεταξύ των αντιστοίχων δεσμών κύκλων (ΙΙ).
Συμπεραίνουμε τα ανάλογα με αυτά της προηγουμένης παραγράφου:
[1] Εάν η ευθεία (e) δεν τέμνει την κωνική, τότε η δέσμη (ΙΙ) των κύκλων με διαμέτρους τα ΧΥ είναι τύπου τεμνομένων κύκλων. Όλοι οι κύκλοι της δέσμης διέρχονται από δύο σταθερά σημεία {E',E''}, των οποίων οι θέσεις υπολογίζονται από τα δεδομένα.
Σε αυτήν την περίπτωση η ενελικτική ομογραφία Y = F(X) δεν έχει σταθερά σημεία.
[2] Εάν η ευθεία (e) τέμνει την κωνική (c) σε δύο σημεία {X0, X1} τότε η δέσμη (II) είναι τύπου μη-τεμνομένων κύκλων και έχει αυτά τα δύο σημεία ως οριακά.
Τα σημεία αυτά είναι επίσης σταθερά σημεία της ενελικτικής ομογραφίας F.

[alogo] 3. Περίπτωση τεμνομένων κύκλων

Εδώ είναι μερικές παρατηρήσεις που αφορούν την περίπτωση [1] της προηγουμένης παραγράφου. Σε αυτήν την περίπτωση η ευθεία (e) δεν τέμνει την κωνική και η δέσμη (II) των κύκλων με διάμετρο XY είναι τύπου τεμνομένων κύκλων. Όλοι οι κύκλοι διέρχονται από δύο σημεία {E',E''} που είναι συμμτρικά ως προς (e) και η θέση τους προσδιορίζεται από τα δεδομένα {c,e}.

[0_0] [0_1] [0_2]
[1_0] [1_1] [1_2]

[1] Επειδή τα {Z,Z'} είναι αρμονικά συζυγή ως προς {X,Y} το κέντρο του κύκλου cX με διάμετρο XY δεν συμπίπτει ποτέ με το Z εκτός της περίπτωσης ZY = ZX, κατά την οποία, λόγω αρμονικής συζυγίας, το Z' πάει στο άπειρο, άρα η Z'E, που είναι η πολική του Z, γίνεται παράλληλη της e.
[2] Η προηγούμενη θέση του κέντρου του κύκλου είναι κατά συνέπεια ο πόλος Z0 της ευθείας e' από το E που είναι παράλληλη της (e).
[3] Ένας άλλος ενδιαφέρον κύκλος της δέσμης κύκλων (ΙΙ) προκύπτει όταν το σημείο X παίρνει την θέση του Z0. Τούτο αντιστοιχεί σε μιά εναλλαγή των ρόλων των (X,Y) και (Z,Z') και παριστάνει την περίπτωση κατά την οποία το Y πάει στο άπειρο. Τότε τα {Z,Z'} είναι συμμετρικά ως προς X και ο κύκλος cX γίνεται μιά ευθεία διά του Z0 (κάθετη στην (e)).
[4] Τα προηγούμενα επιχειρήματα δείχνουν ότι το Z0 είναι το ίχνος στην (e) του κοινού ριζικού άξονα όλων των κύκλων της δέσμης, άρα είναι η ευθεία η φέρουσα τα σημεία {E',E''}. Τα σημεία αυτά μπορούν να προσδιορισθούν άμεσα λόγω της σταθερότητας του λόγου Z0X*Z0Y.
[5] Τα σημεία {E', E''} μπορούν ωστόσο να προσδιορισθούν και διαφορετικά από την γεωμετρική σχέση των ζευγών σημείων {Z,Z'} και {X,Y} στο σχήμα της παραγράφου 2. Ακριβέστερα το ένα ζεύγος ορίζεται από τις διαγώνιες του τετραπλεύρου που είναι εγγεγραμμένο στην κωνική ενώ το άλλο ορίζεται από τις τομές των απέναντι πλευρών του. Εφαρμόζοντας αυτήν την παρατήρηση στο Z0 και το σημείο στο άπειρο της e βρίσκουμε τα {X0,Y0} που είναι συμμετρικά ως προς Z0 μέσω του παραπάνω σχήματος.
[6] Από τα λεχθέντα προκύπτει ότι τα {E1,E2} είναι τα σημεία επαφής της c με εφαπτόμενες που είναι παράλληλες της (e). Άρα η ευθεία E1E2 περνά από το κέντρο της κωνικής (εάν υπάρχει τέτοιο) και μένει σταθερή αν η (e) κοινή παράλληλα εαυτής.

[alogo] 4. Συζυγείς διάμετροι κεντρικής κωνικής

Η τελευταία παρατήρηση της προηγουμένης παραγράφου έχει ενδιαφέρουσες συνέπειες γιά κεντρικές κωνικές όταν αφήσουμε την ευθεία (e) να κοινηθεί παράλληλα εαυτής προς το άπειρο. Τα σημεία {E1, E2} παραμένουν σταθερά και καθώς η (e) τείνει στο άπειρο ο πόλος της E τείνει στο κέντρο της κωνικής. Σε αυτήν την περίπτωση επίσης τα σημεία {Z1, Z2} τείνουν προς τα άκρα της διαμέτρου που είναι συζυγής της διαμέτρου E1E2 της κωνικής καθώς επίσης ταυτόχρονα και παράλληλη της e. Στο όριο, όταν η e ταυτισθεί με την ευθεία στο άπειρο η ενέλιξη F γίνεται η συνήθης συζυγία των διαμέτρων της κωνικής.

[0_0] [0_1] [0_2]
[1_0] [1_1] [1_2]

Γιά να μελετήσουμε αυτήν την ενέλιξη (της συζυγίας των διαμέτρων μιάς κωνικής) ταυτίζουμε την ευθεία στο άπειρο με την δέσμη O* των ευθειών διά του O. Τότε η ενέλιξή μας γίνεται μιά ενέλιξη αυτής της δέσμης και μπορεί να μελετηθεί παίρνοντας ίχνη X, Y , ... των ευθειών διά του O επί μιάς σταθερής ευθείας e. Αυτή η νέα ενέλιξη αντιστοιχεί σε κάθε σημείο X της ευθείας (e) ένα σημείο Y έτσι ώστε οι ευθείες {OX, OY} είναι συζυγείς διάμετροι της κωνικής. Υπάρχει και πάλι ένα αντίστοιχο ζεύγος {Z,Z'} του {X,Y} που προέρχεται από τις διαμέτρους που είναι παράλληλες προς τις πλευρές του παραλληλογράμμου με διαγώνιες κατά μήκος των {OX, OY}. Με επιχειρήματα ανάλογα αυτών της προηγουμένης παραγράφου μπορούμε να ταυτίσουμε τα κοινά σημεία της δέσμης κύκλων {cX} που έχουν διάμετρο το ευθύγραμμο τμήμα XY.
[1] Το Z0 είναι, όπως και προηγουμένως, το σημείο τομής της ευθείας OE με την ευθεία (e). Όπου το E είναι πάλι ο πόλος της (e).
[2] Τα σημεία {X0,Y0} που ορίζουν τον ελάχιστο κύκλο της δέσμης (ΙΙ) είναι τα σημεία τομής της (e) με τις δύο διαμέτρους κατά μήκος των ευθειών {OX0, OY0} που έιναι παράλληλες των πλευρών του παραλληλογράμμου που εγγράφεται στην κωνική και έχει διαγωνίους κατά μήκος των ευθειών OZ0 και της παραλλήλου (e') της (e) από το O.

[alogo] 5. Ορθογώνιες διάμετροι

Η προηγούμενη παράγραφος παρέχει και μιά συνταγή γιά την εύρεση των δύο ορθογωνίων διαμέτρων μιάς κεντρικής κωνικής (κατά μήκος των ευθειών {OX1, OY1} του επομένου σχήματος).

[0_0] [0_1]
[1_0] [1_1]

[1] Πάρε αυθαίρετη ευθεία (e) μη τέμνουσα την κωνική και βρες τον πόλο της E.
[2] Βρες το σημείο Z0 στο οποίο η (e) τέμνει την ευθεία OE (O το κέντρο της κωνικής).
[3] Βρες τα σημεία {X0,Y0} κατασκευάζοντας το παραλληλόγραμμο με διαγωνίους την OZ0 και την παράλληλο (e') της (e) από το O. Κατόπιν προβάλλοντας το O παράλληλα προς τις πλευρές του παραλληλογράμμου στην ευθεία (e).
[4] Προσδιόρισε τα σημεία {E', E''} του κύκλου c0 με διάμετρο X0Y0.
[5] Κατασκεύασε τον κύκλο c1 που περνά από τα {O, E', E''}. Ο κύκλος αυτός ορίζει με τις τομές του {X1, Y1} με την ευθεία (e) τις δύο ορθογώνιες συζυγείς κατευθύνσεις της κωνικής.

Δείτε ακόμη

Ομογραφική σχέση
Αντιστροφή
Θεώρημα του Pascal

Επιστροφή στο Γεωμετρικόν

Δημιουργήθηκε με το EucliDraw©