Pascal

1. Θεώρημα του Pascal

Tα σημεία τομής {Κ, Η, Ο} των απέναντι πλευρών εξαγώνου εγγεγραμμένου σε κύκλο (και γενικότερα εγγεγραμμένου σε κωνική) είναι συγγραμμικά (επί ευθείας που ονομάζεται μιά ευθεία Pascal του εξαγώνου (η κόκκινη ευθεία στο σχήμα)).

Ο όρος απέναντι πλευρές χρειάζεται εξήγηση. Γιά δεδομένη διάταξη των κορυφών ABCDEF του εξαγώνου, η απέναντι πλευρά μιάς πλευράς που ορίζεται από δύο διαδοχικές κορυφές, γιά παράδειγμα της CD, προκύπτει αφήνοντας την επόμενη κορυφή (την Ε) και επιλέγοντας τις επόμενες δύο: FA (με κυκλική επανάληψη αν χρειασθεί, δηλαδή συνεχίζοντας με το Α μετά το F κτλ.). Το σημείο τομής αυτών των δύο είναι το Ο.
Το θεώρημα του Pascal ισχύει γενικότερα γιά κωνικές, ακόμη και γιά εκφυλισμένες. Όπως λ.χ. οι εκφυλισμένες κωνικές που αποτελούνται από δύο τεμνόμενες ή παράλληλες ευθείες. Σε αυτήν την περίπτωση το θεώρημα του Pascal ταυτίζεται με το θεώρημα του Πάππου (δες Πάππου θεώρημα γιά ευθείες ).

Εκ πρώτης όψεως το θεώρημα μοιάζει πολύπλοκο και φαίνεται να απαιτεί πολύπλοκη απόδειξη. Είναι ωστόσο μιά απλή συνέπεια των ιδιοτήτων των διπλών λόγων (δες Διπλός λόγος ).
Οι διπλοί λόγοι (F,E,J,H) και (M,E,D,K) είναι ίσοι, άρα οι ευθείες FM, DJ και KH συντρέχουν στο ίδιο σημείο. Η απλή αυτή απόδειξη μεταφέρεται αυτολεξί στην γενικώτερη περίπτωση των κωνικών. Όλα τα στοιχεία της απόδειξης ισχύουν και σε αυτήν την γενικώτερη περίπτωση.

Οι διπλοί λόγοι (F,E,J,H) και (M,E,D,K) είναι ίσοι διότι αποτέμνονται επί των ευθειών e, g από τις δέσμες C(F,E,D,B) και A(F,E,D,B). Αλλά τα τέσσαρα σημεία (F,E,D,B) καθώς επίσης και τα δύο A, C όντας επί του κύκλου(κωνικής) ορίζουν δέσμες που έχουν τον ίδιο διπλό λόγο (δες Διπλός λόγος ΙΙ ).

2. Αντίστροφο του θεωρήματος του Pascal

Εάν οι απέναντι πλευρές ενός εξαγώνου τέμνονται επ' ευθείας, τότε το εξάγωνο εγγράφεται σε κωνική (που μπορεί να είναι εκφυλισμένη).

Γιά την απόδειξη θεώρησε λ.χ. στο προηγούμενο σχήμα την κωνική που διέρχεται από τα πέντε σημεία A,...,E. Εάν η κωνική διέρχεται και από το σημείο F' της ευθείας EH, τότε η ευθεία EF' (κατά Pascal) θα τέμνει την CD στο O. Έπεται ότι το F' είναι επί της ευθείας AO άρα συμπίπτει με το F.

3. Οι εξήντα ευθείες του Pascal

Δοθέντων 6 σημείων {A,B,C,D,E,F} σε μιά κωνική οι τομές των ζευγών ευθειών (AB,DE), (BC,EF), (CD,FA) ορίζουν μία ευθεία Pascal. Αναδιατάσσοντας τα σημεία και ακολουθώντας την ίδια διαδικασία ορίζεται δεύτερη ευθεία, εν γένει διαφορετική της προηγουμένης. Π.χ. η αναδιάταξη {A,C,E,D,F,B} θα δημιουργεί τα ζεύγη ευθειών (AC,DF), (CE,FB), (ED,BA) οι τομές των οποίων δίδουν ευθεία Pascal διαφορετική της προηγουμένης.

Διαπιστώνεται εύκολα οτι κυκλική μετάθεση των γραμμάτων δίδει την ίδια ευθεία Pascal {B,C,D,E,F,A} --> ευθεία περιέχουσα τις τομές των (BC,EF), (CD,FA), (DE,AB). Επίσης αλλαγή της διάταξης {F,E,D,C,B,A} δίδει πάλι την ίδια ευθεία Pascal: ευθεία περιέχουσα τις τομές των (FE,CB), (ED,BA), (DC,AF). Συνεπώς το σύνολο των τρόπων διάταξης που είναι 6*5*4*3*2 = 720 πρέπει να διαιρέσουμε με 6*2 =12 γιά να πάρουμε το πλήθος των διαφορετικών ευθειών Pascal που είναι 60.
Το γενικό εξάγωνο το εγγεγραμμένο σε κωνική ορίζει πράγματι 60 διαφορετικές ευθείες Pascal. Οι επόμενες ιδιότητες των ευθειών Pascal αναφέρονται στην εργασία του Steiner Theoremes sur l' Hexagrammum mysticum (Werke Bd. I, S. 224).
[1] Οι εξήντα ευθείες Pascal {L₁,..., L₆₀}συντρέχουν ανά τρεις σε σημείο. Προκύπτουν έτσι είκοσι σημεία {P₁,...,P₂₀}.
[2] Τα είκοσι αυτά σημεία περιέχονται σε 15 ευθείες {M₁,...,M₁₅}, έκαστη περιέχουσα τέσσαρα εξ' αυτών.
[3] Από κάθε σημείο P_i διέρχονται τρεις ευθείες εκ των {M_k}.

Δείτε ακόμη

Brianchon Θεώρημα
Διπλός λόγος ΙΙ
Διπλός λόγος
Διπλός λόγος τεσσάρων ευθειών
Δυϊκότητα
Καλή παραμέτρηση
Αρμονικά σημεία
Αρμονική δέσμη
Ομογραφική σχέση
Ομογραφικής σχέσης παράδειγμα
Πάππου θεώρημα γιά ευθείες
Pascal θεώρημα ΙΙ
Pascal γιά τετράπλευρα
Pascal γιά τρίγωνα
Προβολικότητες με σταθερές κορυφές τριγώνου
Κωνικές περιγεγραμμένες τριγώνων
Κωνικές περιγεγραμμένες τριγώνων ΙΙ

Βιβλιογραφία

Steiner, J. Werke Bd. I, II. New York, Chelsea, 1971, p. 224.

Επιστροφή στο Γεωμετρικόν

http://users.math.uoc.gr/~pamfilos/