CrossRatio

1. Διπλός λόγος τεσσάρων σημείων κωνικής

Ο διπλός λόγος τεσσάρων σημείων {U,V,X,Y} κωνικής (c) μπορεί να ορισθεί χρησιμοποιώντας μιά καλή παραμέτριση αυτής. Πράγματι, θεώρησε αυθαίρετη ευθεία (e) και ένα πρόσθετο σημείο C της κωνικής και όρισε τον διπλό λόγο (U,V,X,Y) να είναι ίσος με τον (U',V',X',Y').
Επιλέγοντας μιάν άλλη παραμέτριση της ίδιας ή διαφορετικής ευθείας (e'), η αντίστοιχη αλλαγή παραμέτρισης είναι μιά ομογραφική σχέση y=g(x) των συντεταγμένων των ευθειών (e, e').
Οι ομογραφικές σχέσεις διατηρούν τον διπλό λόγο και έτσι (U',V',X',Y') = (U'',V'',X'',Y'') και ο ορισμός είναι ανεξάρτητος της χρησιμοποιηθήσης παραμέτρισης. Αυτό σημαίνει ότι είναι ανεξάρτητος τόσο από την (e) όσο και από το ειδικό σημείο C της κωνικής.

2. Το λήμμα του Haruki

Εάν AB και FD είναι μη τεμνόμενες χορδές του κύκλου και P μεταβλητό σημείο του τόξου AB από την άλλη μεριά των F και D, τότε σε κάθε θέση του P, οι ευθείες PF και PD τέμνουν την AB σε τρία τμήματα μηκών x, y, z, των οποίων ο λόγος (xz/y) είναι σταθερός.

Όρισε το d=|AB|. Τότε το (x/y):(d/z) είναι ο διπλός λόγος των τεσσάρων σημείων {A,D,F,B} υπολογιζόμενος κατά μήκος της ευθείας AB, και τούτος είναι ανεξάρτητος της θέσης του P. Προφανώς η ιδιότητα αυτή επεκτείνεται σε χορδές κωνικής. Η αναγωγή της ιδιότητας σε ιδιότητα του διπλού λόγου σε κωνική οφείλεται στον L. Bankoff.

Δείτε ακόμη

Αρμονική δέσμη ευθειών
Θεώρημα της πεταλούδας

Βιβλιογραφία

Bankoff, Leon. The Metamorphosis of the Butterfly Problem Mathematics Magazine, Vol. 60, No. 4(1987), pp. 195-210.
Berger, M. Geometry I, II Paris, Springer Verlag 1987, vol. II, par. 16.2, p. 173.
Berger Marcel, Pansu Pierre, Berry Jean-Pic, Saint-Raymond Xavier Problems in Geometry Paris, Springer Verlag 1984, p. 94.

Επιστροφή στο Γεωμετρικόν

http://users.math.uoc.gr/~pamfilos/