Butterfly

1. Θεώρημα της πεταλούδας

Θεώρησε κύκλο και χορδή του CD με μέσον G. Φέρε δύο χορδές διά του G: {FH, EI}. Τότε οι ευθείες {FI, EH} τέμνουν την χορδή CD αντίστοιχα στα σημεία {J, K} που είναι συμμετρικά ως προς G.

Το θεώρημα είναι συνέπεια του ότι η ευθεία LM είναι η πολική του G ως προς τον κύκλο. Έτσι οι ευθείες {LF, LE, LG, LM} σχηματίζουν αρμονική δέσμη και σε κάθε ευθεία που τις τέμνει, τα σημεία τομής ορίζουν μιάν αρμονική διαίρεση. Έτσι η JK ούσα παράλληλη της LM διχοτομείται από την LG. Σημείωσε ότι οι {LG, MG} είναι αντίστοιχα οι πολικές των {Μ,L}. Οι σχετικές ιδιότητες των πολικών αυτών συζητούνται στο Προβολική άποψη κυκλικού τετραπλεύρου .

2. Παρατηρήσεις

[1] Ανάλογη ιδιότητα ισχύει και γιά τα σημεία τομής {J',K'} του άλλου ζεύγους ευθειών {IH, EF}. Τα τμήματα {GJ', GK'} είναι ίσα.
[2] Όπως σημειώνεται στην αναφορά παρακάτω, η εύρεση απόδειξης χωρίς την χρήση αρμονικότητας και διπλού λόγου είναι σχετικά δύσκολη. Το σχήμα σχετίζεται άμεσα με τον τρόπο κατασκευής της πολικής LM ενός σημείου G ως προς κύκλο και γενικεύεται γιά κωνική. Στα πλαίσια αυτής της ενότητας το θέμα είναι τετριμμένο.

Η γενικώτερη ιδιότητα, της οποίας ειδική περίπτωση είναι το θεώρημα της πεταλούδας, είναι αυτή της προηγούμενης εικόνας:
Δίδεται κωνική (c) και σημείο G του οποίου η πολική κατασκευάζεται με τον κλασικό τρόπο: α) παίρνοντας δύο χορδές {FH, EI} και β) ευρίσκοντας τα σημεία {L, M} ως τομές των ζευγών ευθειών (FI, EH) και (IH, EF) (δες Αρμονική διαίρεση ). Από τον τρόπο κατασκευής της η LM είναι και πολική του G ως προς τις δύο ευθείες {FI, HE} και κάθε άλλη τέμνουσα, όπως η (ε) διά του G, ορίζει με τις τομές της {J, K, G'} μιά αρμονική τετράδα (J, K, G, G') = -1. Όταν η (ε) γίνει παράλληλη της LM, τότε JG = GK.

Συμπέρασμα Δεν είναι σκοπός της γεωμετρίας να παράγει γρίφους και να τους σερβίρει μακριά από το φυσικό τους πλαίσιο/θεωρία στο οποίο εμπεριέχονται και ισοδυναμούν με τετριμμένες παρατηρήσεις.
Συχνά είδα να γίνεται κάτι τέτοιο με μοναδικό στόχο να παιδευθεί ο στοχαστής ή να εντυπωσιασθεί και να χάσει τον πολύτιμο χρόνο του ψάχνοντας γιά λύση-πυροτέχνημα έξω από το φυσικό πλαίσιο του θέματος.
Καλύτερα είναι να βάζει κανείς τον εκπαιδευόμενο στον θεωρητικό περίγυρο του προβλήματος και κατόπιν να του δίνει το πρόβλημα και την άσκηση γιά να εξασκηθεί στην συστηματική σκέψη.

Δείτε ακόμη

Αρμονική δέσμη ευθειών
Αρμονική διαίρεση
Προβολική άποψη κυκλικού τετραπλεύρου

Βιβλιογραφία

Bankoff, Leon. The Metamorphosis of the Butterfly Problem Mathematics Magazine, Vol. 60, No. 4(1987), pp. 195-210.

Επιστροφή στο Γεωμετρικόν

http://users.math.uoc.gr/~pamfilos/