Harmonic_Bundle

1. Αρμονική δέσμη ευθειών

Λέμε ότι μία δέσμη τεσσάρων ευθειών (CA, CB, CG, CH) διερχομένων από σημείο C είναι αρμονική δέσμη ευθειών, εάν υπάρχει ευθεία [AB] τέμνουσα τις ευθείες σε αντίστοιχα σημεία A, B, G, H, έτσι ώστε τα G, H να είναι αρμονικά συζυγή των A, B, δηλαδή οι προσανατολισμένοι λόγοι να είναι ίσοι: GA/GB = -HA/HB (δες Αρμονική διαίρεση ).

Ο προηγούμενος λογαριασμός δείχνει ότι ο διπλός λόγος (A,B,G,H) είναι ένας λόγος ημιτόνων των γωνιών μεταξύ των ευθειών (δες επίσης Προβολική ευθεία ). Άρα είναι ο ίδιος γιά κάθε ευθεία που τέμνει αυτές τις τέσσερις ευθείες. Έτσι, εάν μία ευθεία τέμνει την δέσμη κατά αρμονική τετράδα (δηλαδή (A,B,G,H)=-1), το ίδιο θα συμβαίνει και με κάθε άλλη ευθεία που τέμνει την ίδια δέσμη.
Αυτό το απλό γεγονός έχει πλήθος εφαρμογών, μερικές από τις οποίες εξετάζονται παρακάτω.

2. Αρμονική δέσμη με δύο ορθογώνιες ευθείες

Εάν η δέσμη είναι αρμονική και οι ευθείες CH, CG είναι ορθογώνιες, τότε αυτές είναι διχοτόμοι των δύο άλλων ευθειών της δέσμης.
Πράγματι σε αυτήν την περίπτωση:

3. Αρμονική δέσμη και παράλληλες

Εάν η δέσμη (CA,CB,CH,CG) είναι αρμονική και φέρουμε παράλληλο L προς την CH, τότε η CG διέρχεται από το μέσον M του ευθυγράμμου τμήματος OP στην L, που ορίζεται από τις δύο άλλες ευθείες (CA,CB) της δέσμης. Ο λόγος είναι ότι το Μ είναι το αρμονικό συζυγές του σημείου στο άπειρο ως προς A, B. Γιά το σημείο αυτό ο λόγος HA/HB είναι 1, άρα MO/MP = -1. Το αντίστροφο είναι επίσης αλήθεια: Εάν μία δέσμη ευθειών διά του σημείου C: (CH, CA, CG, CB) έχει την ιδιότητα το τμήμα (DB) παράλληλο της CH να διαιρείται από τις άλλες τρεις ευθείες σε δύο ίσα μέρη (DE=EB), τότε η δέσμη είναι αρμονική. Προς τούτο αρκεί να υπολογίσουμε τους λόγους στο επόμενο σχήμα , όπου το G είναι το κέντρο βάρους του τριγώνου BCD.

Μιά γνωστή παραλλαγή αυτού του κανόνα είναι ότι δύο διαδοχικές πλευρές ενός παραλληλογράμμου και οι διαγώνιοι (οι παράλληλές τους από την κοινή κορυφή των δύο πλευρών) σχηματίζουν μιάν αρμονική δέσμη.

4. Εφαρμογή στα ύψη τριγώνου

Θεώρησε σημείο P επί του ύψους AD τριγώνου ABC και υπόθεσε ότι οι ευθείες BE, CF διέρχονται διά του P. Τότε το ύψος AD είναι διχοτόμος της γωνίας EDF, (επόμενο σχήμα).

Γιά την απόδειξη αρκεί να εφαρμοσθεί η ιδιότητα της δεύτερης παραγράφου στην δέσμη ευθειών διά του D: (DE, DF, DH, DI), που είναι αρμονική (δες Αρμονική διαίρεση ).

Υπάρχει και μία άλλη άποψη του αναλλοίωτου του διπλού λόγου τεσσάρων ευθειών που τέμνονται από μιά πέμπτη. Η άποψη αυτή είναι της προοπτικότητας ευθειών, που ορίζεται από την δέσμη ευθειών C* (C* συμβολίζει το σύνολο των ευθειών που διέρχονται από το C) σε δύο ευθείες {e₁,e₂} που τέμνουν τις ευθείες της δέσμης. Αυτό το ζήτημα εξετάζεται στο Προβολικη ευθεία και στο Ορθογώνιας υπερβολής σχέση .

5. Εφαρμογή στις ορθογώνιες χορδές

Έστω ότι {AB,CD} είναι δύο ορθογώνιες χορδές του κύκλου τεμνόμενες σε σημείο E. Θεώρησε το σημείο τομής F των {AD,BC} και φέρε ορθογώνια στην OE (O the center of the circle) στο E τέμνουσα τις {BC,AD} αντίστοιχα στα {K,L}. Τότε KE = EL.

Η απόδειξη προκύπτει αμέσως συμπληρώνοντας το σχήμα στο πλήρες τετράπλευρο που ορίζεται από τα τέσσαρα σημεία {A,B,C,D}. Η ευθεία FG είναι η πολική του E (δες Κατασκευή πολικής ) και ως τέτοια είναι ορθογώνια στην OE όπως είναι και η KL. Επειδή η δέσμη ευθειών F(A,B,E,G) είναι αρμονική και η KL είναι παράλληλος προς την FG το συμπέρασμα προκύπτει από αυτό της τρίτης παραγράφου.
Γιά μιά άλλη εφαρμογή σε συγγενές θέμα δες το Αρμονική δέσμη (ΙΙ) .

Δείτε ακόμη

Αρμονική διαίρεση
Αρμονική δέσμη (ΙΙ)
Ορθογώνιας υπερβολής σχέση
Προβολική ευθεία
Κατασκευή πολικής

Επιστροφή στο Γεωμετρικόν

http://users.math.uoc.gr/~pamfilos/