Cyclic_Maximizing

Κυκλικά τετράπλευρα έχουν μέγιστο εμβαδόν

Πρόβλημα: Δοθέντων των μηκών a, b, c, d, δείξε ότι το κυκλικό τετράπλευρο με αυτά τα μήκη πλευρών έχει μεγαλύτερο εμβαδόν από κάθε άλλο τετράπλευρο με αυτά τα μήκη στην ίδια διάταξη.

Απόδειξη βασισμένη σε ιδέα του Α. Βαρβεράκη.
Κατασκεύασε το κυκλικό ABCD με τα δοθέντα μήκη. Κατόπιν κατασκεύασε επί της AB, όμοιο του προηγουμένου τετράπλευρο ABEF με τις κορυφές στα A, B εναλλαγμένες. Το συνολικό αποτέλεσμα είναι το τραπέζιο DCEF. Τώρα κατασκεύασε ένα άλλο τετράπλευρο με τα ίδια μήκη πλευρών, στην ίδια διάταξη DCHG. Επανέλαβε την προηγούμενη κατασκευή του GHIJ, ομοίου προς το DCHG και τις γωνίες στα G, H εναλλαγμένες. Τα επόμενα αποδεικνύονται εύκολα και οδηγούν στην ζητουμένη απόδειξη: 1) Οι CD, EF και JI είναι πάντοτε παράλληλες,
2)Τα τρίγωνα DGJ και CHI έχουν ίσα εμβαδά,
3) Η προβολή του I (και J) στην ευθεία-φορέα του a είναι ένα σταθερό σημείο, ανεξάρτητο των γωνιών x και y.
Ο τελευταίος ισχυρισμός αποδεικνύεται υπολογίζοντας το εσωτερικό γινόμενο των αντιστοίχων διανυσμάτων <a, b + d'>, που είναι ίσο με a*b*cos(x) - c*d*cos(y). Τούτο δε είναι ίσο με (1/2)(a²+b²-c²-d²). Το τελευταίο αποδεικνύεται στο Τετραπλεύρων βασική ταυτότητα.
4) Τα ABDF και GHIJ έχουν αντίστοιχα ίσες πλευρές και εμβαδά ε(DCHG)+ε(HGJI) = (1+(c/a)²)ε(DCHG). Ανάλογα ε(DCBA)+ε(ABEF) = (1+(c/a)²)ε(DCBA).
5) Πάντοτε ε(DCHG)+ε(HGJI) = ε(DCIJ) <= ε(DCBA)+ε(ABEF).

Γιά την γεωμετρική κατασκευή κυκλικού τετραπλεύρου από τις πλευρές του δες το Τετραπλεύρου κυκλικού κατασκευή .

Δείτε ακόμη

Τετραπλεύρων βασική ταυτότητα
Τετραπλεύρου κυκλικού κατασκευή

Επιστροφή στο Γεωμετρικόν

http://users.math.uoc.gr/~pamfilos/