Domain_of_Convexity

Περιοχή κυρτότητας για τετράπλευρα

Θεώρησε κυρτό τετράπλευρο p = (BCDE) και σημείον A μη κείμενον επί των πλευρών του. Κατασκεύασε το τετράπλευρο q(A) = (FGIH), έχον κορυφάς τα συμμετρικά του A ως προς τις πλευρές του p.
Nα βρεθούν όλες οι θέσεις του A, για τις οποίες το προκύπτον q(A) είναι κυρτό.

Στο σχήμα η περιοχή κυρτότητας είναι η κίτρινη περιοχή, που περιορίζεται από τέσσαρα τόξα κύκλων: BCDEB, διερχόμενα από τις κορυφές του τετραπλεύρου p. Τα τόξα είναι τμήματα των περιγεγραμμένων κύκλων των τεσσάρων τριγώνων που σχηματίζονται από τις προεκτάσεις των πλευρών του p. Όταν το A περιέχεται σ' ένα τέτοιο τόξο, λ.χ. στο BC, τότε οι ανακλάσεις του A στις πλευρές του τριγώνου BCK είναι σε μιά ευθεία (Steiner ευθεία διερχομένη από το αντίστοιχο ορθόκεντρο, παράλληλος της ευθείας Simson του A ως προς το BCK).
Η γενίκευση για κυρτά πολύγωνα με πλευρές περισσότερες από τέσσαρες είναι προφανής. Παρεμπιπτόντως, όταν το A συμπίπτει με το σημείον M, του Miquel του τετραπλεύρου, τότε το q(A) εκφυλίζεται σ' ένα ευθύγραμμο τμήμα, περιέχον τα τέσσαρα ορθόκεντρα των περιγεγραμμένων κύκλων. Το πρόβλημα αποκαθιστά σχέσεις μεταξύ των φαινομενικά ασχέτων θεμάτων: (α) Κυρτότητας, (β) Σημείων του Miquel και (γ) Ευθειών του Simson.
Δες το εγγραφο Περιοχή κυρτότητας (κανονικό εξάγωνο) , για την αντίστοιχη περιοχή κυρτότητας ενός κανονικού εξαπλεύρου.

Δείτε ακόμη

Περιοχή κυρτότητας (κανονικό εξάγωνο)
Σημείον του Miquel τετραπλεύρου
Ευθείες Simson-Wallace τριγώνου

Επιστροφή στο Γεωμετρικόν

http://users.math.uoc.gr/~pamfilos/