Οι τρεις προβολές {A*, B*, C*} σημείου J του περικύκλου τριγώνου ABC περιέχονται σε ευθεία L(J), ονομαζόμενη ευθεία Simson (Wallace) του τριγώνου ABC ως προς το σημείο J.
Η απόδειξη προκύπτει από την σύγκριση γωνιών που υποδεικνύεται στο σχήμα. Οι δύο μαρκαρισμένες γωνίες στο J είναι ίσες λόγω των κυκλικών τετραπλεύρων JB*CA*, JA*C*B και ABJC.
Γιά ειδικές θέσεις του J επί του περικύκλου προκύπτουν ειδικές θέσεις των αντιστοίχων ευθειών Wallace-Simson:
[1] Το J συμπίπτει με κορυφή του τριγώνου. Τότε η L(J) είναι η ευθεία-φορέας του αντιστοίχου ύψους.
[2] Το J είναι το αντιδιαμετρικό του A. Τότε η L(J) είναι η ευθεία-φορέας της πλευράς BC.
[3] To J είναι το μέσον του τόξου απέναντι στο A. Τότε η L(J) συναντά την OJ ακριβώς στο μέσον της πλευράς BC και είναι παράλληλος προς την εξωτερική διχοτόμο της γωνίας A.
[4] Το J είναι το μέσον του τόξου που περιέχει το A. Τότε η L(J) συναντά την OJ ακριβώς στο μέσον της πλευράς BC και είναι παράλληλος προς την διχοτόμο της γωνίας A.
[5] Το J είναι η τομή του ύψους από το A με τον περίκυκλο. Τότε η L(J) διέρχεται από τον πόδα αυτού του ύψους και είναι παράλληλος προς την εφαπτόμενη του περικύκλου στο A.
[6] Οι ευθείες L(J) και OJ είναι παράλληλοι <==> Η L(J) διέρχεται από το κέντρο του κύκλου του Euler του τριγώνου.
Οι αποδείξεις προκύπτουν εύκολα από την συζύτηση στο Ιδιότητα ευθείας Simson , γιά το αντίστροφο πρόβλημα της εύρεσης σημείου στο περίκυκλο γιά το οποίο η αντίστοιχη ευθεία Simson είναι παράλληλη σε δοθείσα κατεύθυνση.
Δες και το Ευθεία του Steiner γιά την συζήτηση γύρω από την παράλληλη της ευθείας Simson και διερχόμενη από το ορθόκεντρο του τριγώνου.
Πρόβλημα Χαρακτηρισμός θέσεων J γιά τις οποίες η ευθεία L(J) διέρχεται από το περίκεντρο.
[1] Lalesco, T. La Geometrie du Triangle. Paris, Jacques Gabay, 1987, pp 8-10.
[2] Honsberger, R. Episodes in Nineteenth and Twentieth Century Euclidean Geometry. Washington DC, Math. Assoc. Ammer., 1995, p 82.
[3] Yiu, P. GeometryNotes020402 (pdf). http://www.math.fau.edu/yiu/GeometryNotes020402.pdf, pp 65-67.
![[alogo]](alogo.png){kind=small}
1. Ευθείες Simson-Wallace τριγώνου ![[0_0]](Simson_files/Simson_0_0_0.png)
![[0_1]](Simson_files/Simson_0_0_1.png)
![[0_0]](Simson_files/Simson_1_0_0.png){kind=small}