Η δυϊκότητα του προβολικού επιπέδου οφείλεται στο ότι το σύνολο των σημείων του Ρ2 και το σύνολο Ρ2* των ευθειών του έχουν την ίδια δομή. Μάλιστα στο συνηθισμένο μοντέλο του προβολικού επιπέδου (δες Προβολικό επίπεδο ) τα δύο αυτά σύνολα ταυτίζονται. Στο κάθε στοιχείο [x] του κοινού μοντέλου γιά τα P2 και P2* αποδίδουμε δύο διαφορετικές σημασίες. Την μιά φορά (στο Ρ2) το ταυτίζουμε με την ευθεία του R3 που διέρχεται από την αρχή των αξόνων, ενώ την άλλη (στο Ρ2*) το ταυτίζουμε με το επίπεδο το κάθετο στο x. Ακριβέστερα, με το σύνολo των ευθειών του R3 που είναι κάθετες στο [x].
Η βασική σχέση μεταξύ των σημείων (λέω p-σημεία) [x] του P2 και των σημείων [a] του P2* (λέω p-ευθείες) είναι αυτή της σύμπτωσης, που εκφράζεται με την εξίσωση a1*x1+a2*x2+a3*x3=0.
Η εξίσωση αυτή εκφράζει ότι το p-σημείο [x] περιέχεται στην p-ευθεία [a], ή ισοδύναμα, ότι η p-ευθεία [a] περνά από το p-σημείο [x].
Η σχέση a1*x1+a2*x2+a3*x3=0, μπορεί να διαβασθεί και από τις δύο πλευρές:
[1] Πρώτα, σταθεροποιώντας το [x] και θεωρώντας όλα τα [a] που ικανοποιούν την σχέση.
Έτσι προκύπτει η δέσμη όλων των p-ευθειών που περνούν από το p-σημείο [x]. Το σύνολο αυτών των ευθειών συμβολίζεται με [x]*.
[2] Κατόπιν σταθεροποιώντας το [a] και θεωρώντας όλα τα [x] που ικανοποιούν την ίδια σχέση.
Δηλαδή θεωρώντας όλα τα p-σημεία [x] της p-ευθείας [a].
Η πρώτη εμφάνιση της δυϊκότητας συμβαίνει όταν θεωρήσουμε ζεύγη:
[1] Δύο διαφορετικά σημεία ορίζουν μιά ευθεία: [a] = ένωση([x],[y]).
[2] Δύο διαφορετικές ευθείες ορίζουν ένα σημείο: [x] = τομή([a],[b]).
Έτσι ένα τρίγωνο έχει δύο απόψεις. Μπορεί να ορισθεί από τις κορυφές του {[x],[y],[z]} και να θεωρήσουμε τις πλευρές ως παράγωγα [a]=ένωση([y],[z]), [b]=ένωση([z],[x]), [c]=ένωση([x],[y]). Μπορούμε όμως να θεωρήσουμε τις πλευρές {[a],[b],[c]} ως πρωταρχικό και τις κορυφές ως παράγωγο: [x] = τομή([b],[c]), [y] = τομή([c],[a]), [z] = τομή([a],[b]).
Οι δύο έννοιες ένωση και τομή είναι φαινομενικά μόνο διαφορετικές. Η ευθεία [a] = ένωση([x],[y]) = τομή(([x]*,[y]*), με την έννοια ότι η [a] είναι κοινή ευθεία των δύο δεσμών ευθειών στο [x] και [y] αντίστοιχα. Ανάλογα και [x] = τομή([a],[b]) αντιστοιχεί στην [x]* = ένωση([a],[b]) με τη έννοια ότι η δέσμη ευθειών στο [x] είναι αυτή που περιέχει και τις δύο ευθείες [a] και [b].
Η αντιστοίχιση [x] --> [x]* είναι ένας φυσιολογικός ισομορφισμός του προβολικού επιπέδου P2 και του δυϊκού του δυϊκού του (P2*)* = Ρ2. To [x]* είναι μιά ευθεία του προβολικού επιπέδου P2*.
Σε κάθε θεωρήμα της προβολικής γεωμετρίας του επιπέδου, ανταλλάσσοντας τις λέξεις σημείο<--->ευθεία και τα ρήματα ένωση<--->τομή παίρνουμε δυϊκά νέα θεωρήματα. Τα νέα θεωρήματα ισχύουν στο P2*, που είναι ισόμορφο του P2. Λέμε τότε ότι η απόδειξη προκύπτει από την δυϊκότητα και αποδεικνύουμε μόνον την μία εκδοχή των δύο δυϊκών θεωρημάτων.
Μιά τυπική περίπτωση είναι το θεώρημα του Desargues (δες Θεώρημα του Desargues ).
Θεώρημα
Τα I και II παρακάτω είναι ισοδύναμα.
(I) Γιά τα τρίγωνα [x][y][z], [x'][y'][z'], οι ευθείες [a]=ένωση([x],[x']), [b]=ένωση([y],[y']), [c]=ένωση([z],[z']) είναι συντρέχουσες, δηλαδή υπάρχει σημείο [w] περιεχόμενο και στις τρεις ευθείες [a], [b], [c].
(II) Τα σημεία τομής των πλευρών [p]=τομή([xy],[x'y']), [q]=τομή([yz],[y'z']), [r]=τομή([zx],[z'x']) περιέχονται σε μία ευθεία [e].
Εδώ το [xy] συμβολίζει την ευθεία [f]=ένωση([x],[y]), το [yz] συμβολίζει την ευθεία [g]=ένωση([y],[z]), κτλ..
Υπόθεσε ότι αποδείξαμε την I => II. Γιά την απόδειξη του II => I πάρε την δυϊκή της πρότασης II:
[p]([xy],[x'y']) μπορεί να θεωρηθεί ως: η ευθεία [p]* που ενώνει τα σημεία [f] και [f'] (στον δυϊκό χώρο P2*).
[q]([yz],[y'z']) μπορεί να θεωρηθεί ως: η ευθεία [q]* που ενώνει τα σημεία [g] και [g'] (στον δυϊκό χώρο P2*).
[r]([zx],[z'x']) μπορεί να θεωρηθεί ως: η ευθεία [r]* που ενώνει τα σημεία [h] και [h'] (στον δυϊκό χώρο P2*).
περιέχονται στην ίδια ευθεία [e] μπορεί να θεωρηθεί ως: τα [p]*,[q]*,[r]* τέμνονται στην [e] (και πάλι στον χώρο P2*).
΄Ετσι η ΙΙ μεταφράζεται:
Γιά τρίγωνα [f][g][h], [f'][g'][h'] του P2* οι ευθείες ένωση([f],[f']), ένωση([g],[g']), ένωση([h],[h']) συντρέχουν. Τούτο όμως είναι το I διατυπωμένο στον δυϊκό χώρο P2*. Από το αποδεδειγμένο μέρος του θεωρήματος προκύπτει ότι:
Τα σημεία [u]([fg],[f'g']) κτλ. είναι στην ίδια ευθεία [o]* (του P2*). Όμως το [fg] είναι το [x], το [f'g'] είναι το [x'], το [u] είναι η ευθεία [xx'] κτλ.. Άρα τα [u], [v], [w] ευρισκόμενα στην ίδια ευθεία [o]* σημαίνει ότι η ευθεία [xx'] περνά από το [o] και το ίδιο ισχύει γιά τα [yy'] και [zz'].
Έτσι το δυϊκό (II') του (II) είναι το (I) επαναδιατυπωμένο στο δυϊκό προβολικό επίπεδο P2*. Επίσης το δυϊκό (I') του (I) είναι το (II) επαναδιατυπωμένο στο P2*. Παραβλέποντας τον συγκεκριμένο χαρακτήρα των στοιχείων των δύο προβολικών επιπέδων (δηλαδή θεωρώντας τα P2 και P2* αφηρημένα σαν το ίδιο σύνολο) βλέπουμε ότι οι προτάσεις {I=>II} και {II=>I} εκφράζουν το ίδιο θεώρημα σε δύο διαφορετικούς προβολικούς χώρους.
Μιά παρόμοια συσχέτιση έχουμε στο θεώρημα του Πάππου, το οποίο είναι αυτο-δυϊκό, δηλαδή το δυϊκό εκφράζεται με το ίδιο σχήμα όπως και το αρχικό (δες Αυτοδυϊκότητα Θεωρήματος Πάππου γιά ευθείες ). Μιά άλλη πασίγνωστη περίπτωση είναι η δυϊκότητα των θεωρημάτων των Brianchon και Pascal.
Δείτε ακόμη
Προβολικό επίπεδο
Αυτοδυϊκότητα Θεωρήματος Πάππου γιά ευθείες
Θεώρημα του Desargues
Επιστροφή στο Γεωμετρικόν
![[alogo]](alogo.png){kind=small}
1. Προέλευση της δυϊκότητας ![[0_0]](Duality_files/Duality_0_0_0.png)
![[0_1]](Duality_files/Duality_0_0_1.png)