[alogo] 1. Προβολικό επίπεδο

Το κλασικό μοντέλο προβολικού επιπέδου (συχνά συμβολιζόμενο με PR2 ή P2), αποτελείται από κλάσεις X= [x] = [x1, x2, x3] διανυσμάτων του R3 ισοδυνάμων ως προς μη-μηδενική πολ/κή σταθερά. Γιά κάθε μη-μηδενικό διάνυσμα a του R3, το A=[a] συμβολίζει ένα σημείο του προβολικού επιπέδου και το a λέγεται ένας αντιπρόσωπος του σημείου. Δύο αντιπρόσωποι a, a' ορίζουν το ίδιο σημείο τότε και μόνον τότε όταν a' = ka, με έναν μη-μηδενικό αριθμό k.

Τα πιό ενδιαφέροντα σχήματα του προβολικού επιπέδου είναι ευθείες αποτελούμενες από όλα τα σημεία X=[x], των οποίων οι αντιπρόσωποι x περιέχονται σε ένα επίπεδο a1x1+a2x2+a3x3 = 0 του R3, που διέρχεται από την αρχή του. Επειδή κάθε επίπεδο καθορίζεται από μία τριάδα αριθμών [a]=[a1,a2,a3] με απροσδιοριστία πολ/κής σταθεράς, βλέπουμε ότι το σύνολο των ευθειών του προβολικού επιπέδου αποτελεί επίσης ένα προβολικό επίπεδο. Τούτο ονομάζεται δυϊκό προβολικό επίπεδο και συμβολίζεται με P*2.

Οι πιό ενδιαφέρουσες απεικονίσεις του προβολικού επιπέδου στον εαυτό του είναι οι προβολικοί μετασχηματισμοί ή προβολικότητες ή ομογραφίες (χρησιμοποιώ κατά περίπτωση όλους αυτούς τους όρους). Οι απεικονίσεις αυτές ορίζονται από κλάσεις [A] αντιστρεψίμων 3x3 πραγματικών πινάκων A και η δράση τους σε σημεία είναι ο συνήθης πολλαπλασιασμός πίνακα με διάνυσμα: [A][x] = [Ax]. Ο μετασχηματισμός ορίζεται με αυτόν τον τρόπο πλήρως και σαφώς και η σύνθεση τέτοιων μετασχηματισμών ανάγεται στον συνήθη πολλαπλασιασμό πινάκων.

[alogo] 2. Κωνικές

Σχήματα ιδιαίτερου ενδιαφέροντος του προβολικού επιπέδου είναι οι αλγεβρικές καμπύλες που ορίζονται από εξισώσεις Sp = {[x] | p(x)=0}, όπου p(x) = p(x1,x2,x3) είναι ομογενές πολυώνυμο τριών μεταβλητών, δηλαδή πολυώνυμο που ικανοποιεί μιά εξίσωση της μορφής p(kx) = krp(x). Όπου το r είναι ο βαθμός του πολυωνύμου. Η ομογένεια του πολυωνύμου συνεπάγεται ότι η εξίσωση p(x)=0 είναι μιά συνθήκη γιά την κλάση [x] και όχι γιά τον συγκεκριμένο αντιπρόσωπο. Ειδικές περιπτώσεις τέτοιων καμπυλών είναι οι ευθείες, γιά τις οποίες ο βαθμός είναι r=1 και οι κωνικές γιά τις οποίες ο βαθμός είναι r=2.
Έτσι, οι (προβολικές) κωνικές ορίζονται από εξισώσεις της μορφής:

[0_0] [0_1] [0_2] [0_3]

Η παράσταση με πίνακες εξηγεί τους πολλαπλασιασμούς με 2 της προηγούμενης εξίσωσης. Μιά κωνική που παριστάνεται με αντιστρέψιμο συμμετρικό πίνακα, όπως προηγουμένως λέγεται γνήσια, διαφορετικά λέγεταιεκφυλισμένη. Γνήσιες κωνικές αντιστοιχούν σε ανάγωγα πολυώνυμα βαθμού δύο, ενώ εκφυλισμένες αντιστοιχούν σε μη-ανάγωγα πολυώνυμα, δηλαδή πολυώνυμα που γράφονται σαν γινόμενα δύο άλλων γραμμικών πολυωνύμων. Κάθε γραμμικό πολυώνυμο παριστάνει μιάν ευθεία, οπότε οι εκφυλισμένες κωνικές είναι ενώσεις δύο ευθειών ή και μία διπλή ευθεία (εάν οι δύο γραμμικοί παράγοντες ταυτίζονται).

[alogo] 3. Καθορισμός μιάς καμπύλης

Προφανώς η τομή δύο διαφορετικών ευθειών είναι πάντοτε ένα σημείο. Τούτο είναι ριζικά διαφορετικό από την Ευκλείδεια Γεωμετρία όπου υπάρχουν παράλληλες ευθείες δηλαδή ευθείες χωρίς κοινά σημεία. Η άλλη προφανής ιδιότητα των ευθειών είναι ότι δύο σημεία A([a]) και B([b]) καθορίζουν πλήρως μία και μοναδική ευθεία. Από τις στοιχειώδεις ιδιότητες των οριζουσών έπεται ότι μιά τέτοια ευθεία παρίσταται με εξίσωση της μορφής:

[0_0]

Ανάλογα ζητήματα γιά αλγεβρικές καμπύλες μεγαλυτέρων βαθμών είναι μη-τετριμμένες και χρειάζονται την ανάπτυξη θεωρίας γιά να απαντηθούν. Ειδικά η εξίσωση μιάς κωνικής, ως περιέχουσα έξι συντελεστές, έχουσα όμως απροσδιοριστία πολλαπλασιαστικής σταθεράς, αναμένεται ότι θα καθορίζεται από πέντε συνθήκες. Έτσι περιμένει κανείς ότι μιά κωνική θα καθορίζεται πλήρως από το ότι διέρχεται από πέντε σημεία (σε γενική θέση). Το ότι αυτό πράγματι συμβαίνει αποδεικνύεται στο Κωνικές διά πέντε σημείων . Δείτε επίσης το Προβολικές συντεταγμένες .

[alogo] 4. Ισοδυναμία κωνικών

Ισοδυναμία μεταξύ αλγεβρικών καμπυλών είναι το ανάλογο της ισομετρίας μεταξύ σχημάτων της Ευκλείδειας Γεωμετρίας. Δύο καμπύλες {p(x)=0} και {q(x)=0} λέγονται ισοδύναμες τότε και μόνον όταν υπάρχει προβολικότητα [A], έτσι ώστε γιά κάθε [x]: q(x) = kp(Ax), όπου k μη-μηδενική σταθερά.
Ταυτίζοντας μιάν ευθεία {a1x1+a2x2+a3x3=0} με την κλάση του διανύσματος-γραμμή (a1,a2,a3), ισοδυναμία μεταξύ δύο ευθειών [a] και [b] ανάγεται σε μιά εξίσωση πινάκων:

[0_0]

Παρόμοια, ισοδυναμία μεταξύ δύο κωνικών ανάγεται σε μιά εξίσωση πινάκων της μορφής:

[0_0]

Εδώ το A συμβολίζει έναν αντιστρέψιμο πίνακα και το At συμβολίζει τον ανάστροφό του. Από την στοιχειώδη γραμμική άλγεβρα έπεται ότι δύο ευθείες είναι ισοδύναμες. Παρόμοια αποδεικνύεται (δες Προβολικές συντεταγμένες ) ότι δύο γνήσιες κωνικές είναι ισοδύναμες.


[alogo] 5. Συναφείς έννοιες

[1] Οι κανονικές συντεταγμένες (x1,x2,x3) που χρησιμοποιήθηκαν προηγουμένως γενικεύονται μέσω των προβολικών βάσεων που εξετάζονται στο Προβολική Βάση . Μπορεί κανείς να χρησιμοποιήσει αυτά τα γενικώτερα συστήματα συντεταγμένων γιά να ορίσει αλγεβρικές καμπύλες και μετά να δείξει την ανεξαρτησία των ορισθέντων σχημάτων από το συκεκριμένο σύστημα.

[2] Μπορεί κανείς επίσης να χρησιμοποιήσει προβολικές βάσεις γιά να δείξει ότι τέσσαρα σημεία {A,B,C,D} και ο καθορισμός των εικόνων τους {A',B',C',D'} ορίζει πλήρως (υπό ορισμένους γενικούς περιορισμούς) μία προβολικότητα. Αυτό το θέμα εξετάζεται στο Προβολικότητα .

[3] Μπορεί να ορισθεί ένα μοντέλο προβολικού επιπέδου μέσω επέκτασης του γνωστού και οικείου ευκλειδείου επιπέδου. Η επέκταση αυτή ονομάζεται προβολικοποίηση του ευκλειδείου επιπέδου. Η επέκταση αυτή εξετάζεται στο Προβολικοποίηση .

[4] Μιά τελευταία σημείωση που αφορά στην μιγαδικοποίηση του προβολικού επιπέδου, που είναι η εμβάπτιση του PR2 στο PC2, όπου C συμβολίζει το σύνολο (σώμα) των μιγαδικών αριθμών. Όλοι οι ορισμοί του [1] μεταφέρονται αυτολεξί στο PC2. Η μόνη διαφορά είναι στην χρήση της φράσης μιγαδικός αριθμός αντί της πραγματικός αριθμός. Λόγω του θεμελιώδους θεωρήματος της άλγεβρας, υπάρχει στο μιγαδικό επίπεδο μιά διαφορά (από το πραγματικό) όσον αφορά τις τομές καμπυλών. Γιά παράδειγμα, μία ευθεία και μία κωνική έχουν πάντοτε δύο σημεία τομής στο μιγαδικό προβολικό επίπεδο, ενώ στο πραγματικό τα πράγματα είναι διαφορετικά. Παρόμοια δύο κωνικές έχουν πάντοτε σημεία τομής στο μιγαδικό προβολικό επίπεδο.


Δείτε ακόμη

Κωνικές διά πέντε σημείων
Προβολική Βάση
Προβολικοποίηση
Προβολικές συντεταγμένες
Προβολικότητα


Βιβλιογραφία

Baker, H. F. Plane Geometry New York, Chelsea Publishing Company 1971.

Επιστροφή στο Γεωμετρικόν

Δημιουργήθηκε με το EucliDraw©