Desargues

1. Θεώρημα του Desargues

Οι δύο επόμενες σχέσεις μεταξύ των τριγώνων ABC, A'B'C' είναι ισοδύναμες. Η ισχύς της μίας συνεπάγεται την άλλη.
[1] Οι ευθείες {AA', BB', CC'} διέρχονται από κοινό σημείο (ονομαζόμενο κέντρο προοπτικότητας).
[2] Οι τομές των ευθειών-φορέων των ζευγών πλευρών: A''=(BC, B'C'), B''=(CA,C'A'), C''=(AB,A'B') περιέχονται σε ευθεία e (ονομαζόμενη άξονας προοπτικότητας).

Γιά την απόδειξη [1] => [2] εφάρμοσε το θεώρημα Μενελάου (δες Θεώρημα του Μενελάου ) τρεις φορές στα τρίγωνα:
(1) OAB και ευθεία [C''A'B'] => (C''A/C''B)(A'O/A'A)(B'B/B'O) = 1,
(2) OAC και ευθεία [B''A'C'] => (B''C/B''A)(C'O/C'C)(A'A/A'O) = 1,
(3) OBC και ευθεία [A''C'B'] => (A''B/A''C)(B'O/B'B)(C'C/C'O) = 1.
Πολλαπλασιάζοντας τις εξισώσεις παίρνουμε: (C''A/C''B)(B''C/B''A)(A''B/A''C) = 1, που κατά Μενέλαο σημαίνει ότι τα {A'', B'', C''} είναι συγγραμμικά επί των ευθειών-πλευρών του ABC.

Γιά την απόδειξη [2] =>[1] θεώρησε τα τρίγωνα C''BB' και B''C'C τα οποία κατά την παρούσα υπόθεση είναι προοπτικά στο A''. Άρα από το μέρος ([1]=>[2]) της απόδειξης οι τομές των ζευγών πλευρών O= (BB', CC'), A=(BC'', CB'') και A'= (B''C', C''B') είναι συνευθειακές, πράγμα που δείχνει ότι τα ABC και A'B'C' είναι σημειακά-προοπτικά ως προς το O.
Δες το αρχείο Δυϊκότητα γιά μιά άλλη απόδειξη του ([2]=>[1]) που στηρίζεται στην δυϊκότητα των προβολικών χώρων.

2. Πόρισμα και εφαρμογές

Έστω ότι το μεταβλητό τρίγωνο ABC έχει τις κορυφές του {B,C} αντίστοιχα σε δύο ευθείες {OB', OC'} και τις ευθείες των πλευρών του διερχόμενες από τρία σταθερά σημεία {A'',B'',C''} επί της ιδίας ευθείας. Τότε η τρίτη κορυφή του A κινήται σε ευθεία OA' διερχόμενη διά του O.

Πρόβλημα Δοθέντος τριγώνου OXY, να εγγραφεί σε αυτό τρίγωνο A'B'C', έτσι ώστε οι ευθείες των πλευρών του να διέρχονται από τρία δοθέντα σημεία {A'',B'',C''} κείμενα επ' ευθείας.

Σύμφωνα με το πόρισμα, όλα τα τρίγωνα A'B'C' που έχουν τις κορυφές τους {B',C'} επί των ευθειών {OX,OY} αντίστοιχα και τις πλευρές τους διερχόμενες από τα σημεία {A'',B'',C''} έχουν την τρίτη κορυφή τους A' επί σταθεράς ευθείας OA. Η τομή αυτής της ευθείας με την ευθεία XY του δοθέντος τριγώνου ορίζει το σημείο A' του ζητουμένου τριγώνου. Τούτο καθορίζει πλήρως το τρίγωνο A'B'C', αφού οι πλευρές του πρέπει να περνούν από τα {A'',B'',C''}.

Σημείωση-1 Μιά ειδική περίπτωση έχουμε όταν τα {A'',B'',C''} είναι επί της ευθείας στο άπειρο. Τούτο σημαίνει ότι το A'B'C' έχει τις πλευρές του παράλληλες προς τρεις σταθερές κατευθύνσεις. Στην ειδική αυτή περίπτωση βλέπει κανείς άμεσα, χωρίς το επιχείρημα του Desargues, ότι η τρίτη κορυφή μεταβάλλεται σε ευθεία. Μάλιστα μπορεί κανείς να αναγάγει το γενικό θεώρημα του Desargues σε αυτήν την ειδική περίπτωση. Αρκεί προς τούτο να ορίσει μιά προβολική απεικόνιση που στέλνει την ευθεία την περιέχουσα τα {A'',B'',C''} στην ευθεία στο άπειρο.

Σημείωση-2 Χρησιμοποιώντας το πόρισμα μπορεί να δείξει κανείς το γενικώτερο:
Όταν πολύγωνο μεταβάλλεται έτσι ώστε οι n πλευρές του να διέρχονται από n σταθερά σημεία περιεχόμενα σε ευθεία και (n-1) των κορυφών του να περιέχονται σε (n-1) δοθείσες σταθερές ευθείες, τότε και η n-ή κορυφή του μεταβάλλεται επ' ευθείας.

Remark-3 Στο πόρισμα είναι ουσιαστικό γιά τα σημεία {A'',B'',C''} το ότι είναι συγγραμμικά. Στην γενικώτερη περίπτωση στην οποία αυτό δεν συμβαίνει η τρίτη κορυφή A μεταβάλλεται σε κωνική.
Το ζήτημα αυτό εξετάζεται στο αρχείο Θεώρημα του Maclaurin . Υπάρχει και μιά άλλη ειδική περίπτωση, κατά την οποία τα τρία αυτά σημεία δεν είναι συγγραμμικά, αλλά η ευθεία B''C'' διέρχεται διά του O, οπότε ο τόπος της κορυφής Α είναι πάλι ευθεία. Η περίπτωση αυτή εξετάζεται παρακάτω.

3. Άσκηση στην χρήση προβολικών συντεταγμένων

Πρόβλημα Έστω ότι μεταβλητού τριγώνου ABC οι κορυφές του {B,C} κινούνται επί δύο ευθειών {OX, OY} και οι πλευρές του διέρχονται από τρία σταθερά σημεία {A'',B'',C''} έτσι ώστε η ευθεία B''C'' να διέρχεται από το O. Τότε η τρίτη κορυφή του A μεταβάλλεται επί ευθείας διερχομένης διά των σημείων {R,S}, που είναι αντίστοιχα οι τομές των ζευγών ευθειών (A''C'',OY) και (A''B'',OX).

Γιά την απόδειξη θεώρησε τις τομές {V,W} των ζευγών ευθειών (AB'',OB) και (A''B'',C''B). Χρησιμοποίησε μιά προβολική βάση στην οποία: A''(1,0,0), B''(0,1,0), C''(0,0,1) και υπολόγισε τις συντεταγμένες του A:
Έστω ότι οι ευθείες {OX, OY, A''BC} είναι της μορφής
OX: ax+by+cz=0,
OY: a'x+b'y+c'z=0,
A''BC: uy+vz=0.
Τα σημεία {B,C} έχουν τότε συντεταγμένες
(bv-cu, -av, au),
(b'v-c'u, -a'v, a'u).
Οι ευθείες {BC'',CB''} έχουν αντίστοιχα την μορφή:
(-av)x + (cu-bv)y=0,
(-a'u)x + (b'v-c'u)z=0.
Η τομή τους είναι το σημείο A με συντεταγμένες:
A: ((cu-bv)(b'v-c'u), av(b'v-c'u), a'u(cu-bv)).
Επειδή οι ευθείες {OX,OΥ} τέμνονται σε σημείο της ευθείας x=0, ευρίσκομε ότι b'=sb, c'=sc γιά σταθερά s.
Έτσι οι συντεταγμένες του A γίνονται:
(-s(cu-bv)², -sav(cu-bv), a'u(cu-bv)), που απλοποιείται στο (s(cu-bv), sav, -a'u). (*)
Από την άλλη μεριά οι συντεταγμένες των {S,R} υπολογίζονται εύκολα ότι είναι
S: (-b,a,0) και R: (-sc,0,a'). Η ορίζουσα αυτών των δύο (*) είναι τότε:

Αυτό αποδεικνύει την συγγραμμικότητα των τριών σημείων {A,S,R}. Από το θεώρημα του Desargues γιά τα τρίγωνα A''WC'' και OCV, που είναι ευθειακά-προοπτικά, προκύπτει ότι είναι και σημειακά προοπτικά ως προς σημείο U.
Θα μπορούσε κανείς να ξεκινήσει και από το τελευταίο συμπέρασμα και να δείξει την συγγραμμικότητα των {A,S,R}. Ωστόσο ο υπολογισμός φαίνεται κάπως πιό πολύπλοκος από τον προηγούμενο.

Δείτε ακόμη

Ακολουθία προοπτικών τριγώνων
Δυϊκότητα
Θεώρημα του Μενελάου
Εφαρμογή θεωρήματος Μενελάου
Θεώρημα του Πάππου γιά ευθείες
Θεώρημα του Maclaurin
Δυϊκότητα θεωρήματος Πάππου

Επιστροφή στο Γεωμετρικόν

http://users.math.uoc.gr/~pamfilos/