EightPointCircle

1. Κύκλος οκτώ σημείων

Θεώρησε κυρτό ορθοδιαγώνιο (έχον ορθογώνιες διαγωνίους) τετράπλευρο ABCD. Τα τέσσαρα μέσα των πλευρών του {E, F, G, H} και οι τέσσερις προβολές {K, L, J, I} αυτών στις απέναντι πλευρές του περιέχονται σε κύκλο.

Η απόδειξη προκύπτει από το ότι το παραλληλόγραμμο των μέσων των πλευρών p = EFGH είναι ορθογώνιο.
Oι προβολές των κορυφών του p στις απέναντι πλευρές, όπως λ.χ. η L βλέπουν μιά διαγώνιο του p (FH) υπό ορθή γωνία.
Παρατήρηση-1 Oι ευθείες {ΕΚ, ΙΗ} τέμνονται επί της διαγωνίου ΑC. Ανάλογες ιδιότητες ισχύουν και γιά τα άλλα ζεύγη ευθειών {(GJ,IH), (FL,GJ),(FL,EK)}. Γιά παράδειγμα στο P από την ισότητα γων(PAK) = γων(PIK) = γων(DGH), ακολουθώντας τα κυκλικά τετράπλευρα AKPI και KGHI. Έτσι, λόγω παραλληλίας η AP είναι κάθετη στην FG και διέρχεται από το M. Στο Ορθοδιαγώνια τετράπλευρα εξετάζονται και άλλες ιδιότητες του ορθοδιαγωνίου τετραπλεύρου.
Παρατήρηση-2 Ισχύουν οι σχέσεις (α) ΜQ/MR = MB/MD και (β) MP/MS = MC/MA.
Αυτές προκύπτουν από την ομοιότητα των σχηματιζομένων ορθογωνίων τριγώνων, όπως λ.χ. τα {QMP, AMD} από τα οποία προκύπτει MP/MQ = MD/MA και τα {QMS, CMD} από τα οποία προκύπτει ΜS/MQ = MD/MC. Από τις δύο αυτές προκύπτει η (β). Ανάλογα προκύπτει και η (α).

2. Προοπτικά τρίγωνα

Τα τρίγωνα {PRS, FNE} είναι προοπτικά και οι ευθείες {PF, RN, SE} διέρχονται από κοινό σημείο. Ανάλογα και τα ζεύγη τριγώνων {(PQS, GNH), (QPR, GNF), (QSR, HNE)} είναι προοπτικά.

Το ότι τα τρίγωνα {PRS, FNE} είναι προοπτικά προκύπτει αμέσως από το γεγονός ότι αντίστοιχες πλευρές τους τέμνονται σε τρία συνευθειακά σημεία. Πράγματι οι πλευρές {PR, FN} τέμνονται στο Η. Οι πλευρές {SR, EN} τέμνονται στο G και οι πλευρές {PS, FE} είναι παράλληλες καθώς επίσης είναι παράλληλες και προς την GH. Άρα τα τρία σημεία τομής είναι συνευθειακά, το τρίτο όντας το σημείο στο άπειρο της ευθείας των δύο πρώτων. Ανάλογα αποδεικνύονται και οι άλλες τρεις προοπτικότητες.

Δείτε ακόμη

Ορθοδιαγώνια τετράπλευρα
Θεώρημα του Desargues

Επιστροφή στο Γεωμετρικόν

http://users.math.uoc.gr/~pamfilos/