Ορθοδιαγώνια τετράπλευρα q = (ABCD), έχουν εξ' ορισμού ορθογώνιες διαγώνιες. Τα μέσα των πλευρών τους σχηματίζουν ορθογώνιο παραλληλόγραμμο s = (EFGH) και οι κορυφές τους είναι τα κατοπτρικά του σημείου τομής των διαγωνίων I ως προς τις πλευρές του s.
[1] Έστω ότι {J, K, L, M} είναι οι προβολές του Ι επί των πλευρών του q. Τότε το τετράπλευρο r = (JKLM) είναι κυκλικό με περιγεγραμμένο κύκλο (c).
[2] Οι ευθείες {IJ, IK, IL, IM} τέμνουν τις αντίστοιχα απέναντι των {J, K, L, M} πλευρές στα σημεία {J*, K*, L*, M*} ευρισκόμενα επίσης επί του κύκλου (c).
[3] Το (J*K*L*M*) είναι ορθογώνιο με πλευρές παράλληλες προς τις διαγωνίους του q.
[4] Ο περιγεγραμμένος κύκλος του CMIL εφάπτεται της διαγωνίου BD. Ανάλογα και ο περιγεγραμμένος του IJAK εφάπτεται της BD. Ανάλογες ιδιότητες ισχύουν και γιά την άλλη διαγώνιο.
[5] Οι πλευρές του JKLM, ανά δύο απέναντι, είναι αντιπαράλληλες προς τις διαγωνίους {AC,BD}.
Οι αποδείξεις απορρέουν από τις ιδιότητες που εξετάζονται στο EightPointCircle.html .
Εκεί αποδεικνύεται ότι οι προβολές {N, O, P, Q} των μέσων των πλευρών του q = (ABCD) στις απέναντι πλευρές περιέχονται σε στον περίκυκλο d του ορθογωνίου παραλληλογράμμου s = EFGH.
Oι επόμενες παρατηρήσεις συνεπάγονται τις αποδείξεις των παραπάνω ισχυρισμών.
(1) Τα τετράπλευρα OSPC και LIMC είναι κυκλικά και όμοια. Το ίδιο ισχύει και γιά τα ANRQ και AKIJ.
(2) Έπεται ότι τα τετράπλευρα r = JKLM και w = NOPQ έχουν τις πλευρές τους παράλληλες, άρα το r είναι κυκλικό.
(3) Οι γωνίες (EJ*J) = π - (J*EH)-(HEQ) = π-(ONQ) = π- (LKJ). Η τελευταία λόγω της (2).
Έπεται ότι τα {J*, L, K, J} είναι ομοκυκλικά. Ανάλογα αποδεικνύεται ότι και τα υπόλοιπα {L*, K*, M*} είναι στον περίκυκλο (c) των {L, K, J, M}.
(4) Oι γωνίες (J*K*K) = (J*JK) = (EQN) = (EHN). Και τούτο αποδεικνύει τον ισχυρισμό [3].
(5) Το [4] είναι τετριμμένο λόγω της καθετότητας της IC στην BD.
(6) Το [5] έπεται από τις ισότητες γωνιών (IMJ)=(IDA)=(JIA) => (JMD)=(IAJ).
Γιά κάθε σημείο U της ευθείας BD φέρνοντας διαδοχικά παράλληλες προς τις πλευρές του JKLM ορίζεται κλειστό UVWX εγγράψιμο σε κύκλο και στο ABCD τετράπλευρο. Το κέντρο Y του περιγεγραμμένου κύκλου του UVWX ευρίσκεται επί της ευθείας Newton του ABCD, που ενώνει τα μέσα των AC και BD.
Κλειδί γιά την απόδειξη είναι μιά γενικώτερη ιδιότητα κλειστών πολυγώνων:
Δοθέντων πολυγώνων A1...An και Β1...Bn, από τυχόν σημείο U της πλευράς A1A2 του πρώτου φέρω παράλληλο UV προς την B1B2, με V επί της Α2Α3. Από το V φέρω παράλληλο VW της B2B3 με W επί της A3A4. Συνεχίζοντας κατ' αυτόν τον τρόπο κατασκευάζω πολύγωνο UVW... εγγεγραμμένο στο A1...An με πλευρές παράλληλες προς αντίστοιχες πλευρές του B1...Bn. Εάν στο τελευταίο βήμα με XU' παράλληλο της BnB1 και U' επί της Α1Α2, το U'=U συμβαίνει γιά δύο διαφορετικές θέσεις του U επί της A1A2 τότε θα συμβαίνει γιά κάθε θέση του U επί της A1A2.
Με ανάλογο τρόπο μπορεί να δειχθεί και ο δεύτερος ισχυρισμός γιά τον γεωμετρικό τόπο του Υ. Τα μέσα των UV κινούνται επί της συμμετροδιαμέσου από το D του τριγώνου DAC. Ανάλογη ιδιότητα ισχύει και γιά τα μέσα των VW. Από αυτές τις ιδιότητες προκύπτει εύκολα ότι το Υ ικανοποιεί την εξίσωση μιάς ευθείας. Γιά την ευθεία δε αυτή διαπιστώνεται πάλι εύκολα ότι περνά από τα μέσα των BD και AC.
Το αρχείο OrthodiagonalFromCyclic.html περιέχει την αντίστροφη διαδικασία, της κατασκευής ενός ορθοδιαγωνίου τετραπλεύρου από δοθέν κυκλικό τετράπλευρο r.
Δές το έγγραφο QuadModuli.html γιά μιά ενδιαφέρουσα εφαρμογή των ορθοδιαγωνίων τετραπλεύρων με ίσες διαγωνίους.
![[alogo]](alogo.png){kind=small}
1. Ορθοδιαγώνια τετράπλευρα ![[0_0]](Orthodiagonal_files/Orthodiagonal_0_0_0.png)
![[0_1]](Orthodiagonal_files/Orthodiagonal_0_0_1.png)
![[0_2]](Orthodiagonal_files/Orthodiagonal_0_0_2.png)
![[1_0]](Orthodiagonal_files/Orthodiagonal_0_1_0.png)
![[1_1]](Orthodiagonal_files/Orthodiagonal_0_1_1.png)
![[1_2]](Orthodiagonal_files/Orthodiagonal_0_1_2.png)
![[0_0]](Orthodiagonal_files/Orthodiagonal_1_0_0.png)
![[0_1]](Orthodiagonal_files/Orthodiagonal_1_0_1.png)