Ellipse

Έλλειψη

[0] Η έλλειψη μπορεί να ορισθεί από την ιδιότητα των σημείων της Χ να έχουν σταθερό άθροισμα αποστάσεων από δύο σταθερά σημεία {F, F'}.
|ΧF|+|XF'| = 2a, όπου a: θετική σταθερά.
Τα σταθερά σημεία σημεία {F, F'} ονομάζονται εστίες της ελλείψεως. Η ευθεία FF' ονομάζεται μείζων άξονας της έλλειψης. Με το ίδιο όνομα (μείζων άξονας) αναφέρεται και η σταθερά a/2.

[1] Το κέντρο Ο του ευθυγράμμου τμήματος FF' λέγεται κέντρο της έλλειψης. Στις σχέσεις που αναλύονται παρακάτω υποτίθεται ότι το σύστημα συντεταγμένων έχει κέντρο το Ο, x-άξονα τον μέγα άξονα της έλλειψης και y-άξονα τον κάθετο σε αυτόν στο Ο.
[2] Η έλλειψη διέρχεται από τα σημεία τομής {Α,Α'} του κύκλου με κέντρο Ο και ακτίνα a/2. Ο κύκλος αυτός λέγεται βοηθητικός κύκλος της έλλειψης.
[3] Η σταθερά που είναι ίση με το ήμισυ της εστιακής απόστασης c = |FF'|/2 ικανοποιεί την:

[4] Ορίζοντας κατάλληλα το b, τούτο ισοδυναμεί με την παρακάτω εξίσωση, όπου η σύνδεση με το σχήμα δίδεται από την: |HJ|/|XJ| = a/b. Το b λέγεται ελάσσων άξονας.

[5] Ορίζοντας τα e, h, μέσω των εξισώεων της πρώτης γραμμής παρακάτω, η εξίσωση μετασχηματίζεται σε αυτήν της δευτέρας γραμμής, που μεταφράζεται σε μιά γεωμετρική ιδιότητα:

[6] Θεωρούμε μιά ευθεία παράλληλη του y-άξονα στο σημείο Q(h,0) που λέγεται μία διευθετούσα της έλλειψης. Η τελευταία σχέση δείχνει ότι ο λόγος |XF|/|XN| = e = c/a είναι σταθερός. Η σταθερά e = c/a <1, λέγεται εκκεντρότητα της έλλειψης.
[7] Η προηγούμενη παράγραφος δείχνει ότι η έλλειψη είναι επίσης ο τόπος των σημείων Χ των οποίων ο λόγος των αποστάσεων από ένα σημείο και μία ευθεία |XF|/|XN| = e <1 είναι σταθερός και μικρότερος της μονάδος.
[8] Υπάρχει μιά δεύτερη διευθετούσα ανάλογη της QN που είναι η συμμετρική της QN ως προς το Ο. Οι δύο διευθετούσες είναι οι πολικές των εστιών ως προς την έλλειψη.
[9] Η κατεύθυνση της καθέτου στο X(x,y) είναι (x/a², y/b²). Άρα η εξίσωση της εφαπτομένης είναι
xu/a² + yv/b² = 1 (μεταβλητές οι (u,v)).
Τα σημεία {S,T} όπου η κάθετη/εφαπτόμενη τέμνουν τον x-άξονα υπολογίζονται εύκολα:
{x(a²-b²)/a², a²/x}, και έχουν γινόμενο c²=a²-b². Τούτο συνεπάγεται ότι τα {S, T} είναι αρμονικά συζυγή των {F,F'} και επειδή η γωνία στο X είναι μία ορθή οι ευθείες XT, XN συμπίπτουν με τις διχοτόμους της γωνίας FXF'.
[10] Τούτο συνεπάγεται ότι το συμμετρικό F* του F ως προς την εφαπτόμενη XT είναι επί της XF' και το μέσον G της FF* είναι επί του βοηθητικού κύκλου με διάμετρο AA'.
[11] Ο κύκλος d, με κέντρο στην εστία F' και ακτίνα 2a λέγεται ένας πρωτεύων κύκλος της έλλειψης. Έχει την ιδιότητα: Γιά κάθε σημείο F* του d, η μεσοκάθετος του ευθυγράμμου τμήματος FF* είναι εφαπτόμενη της έλλειψης στο σημείο τομής της Χ με την ευθεία F'F*.
[12] Προβολή μιάς εστίας σε μιά εφαπτόμενη ορίζει σημείο του βοηθητικού κύκλου c (από το [9] η OG είναι παράλληλη και το ήμισυ της F'F*).
[13] Η ευθεία XJ είναι ταυτόχρονα πολική του T ως προς την έλλειψη αλλά και ως προς τον βοηθητικό κύκλο c. Άρα η εφαπτόμενη στο X της έλλειψης και στο H του κύκλου τέμνονται στο ίδιο σημείο T. Επίσης οι ευθείες KX και PH συναντώνται στο ίδιο σημείο του x-άξονα αφού μικρός υπολογισμός δείχνει ότι JX/JH = OK/OP = b/a. Το αρχείο Πολική κοινή περιέχει μερικά πορίσματα της σύμπτωσης των εφαπτομένων από το T.
[14] Όλες οι ιδιότητες της έλλειψης που αναφέρθηκα έχουν τις αντίστοιχές τους γιά υπερβολές (δες Υπερβολή ). Ελλείψεις και υπερβολές καλλούνται συλλογικά κεντρικές κωνικές, διότι έχουν κέντρο συμμετρίας (σε αντίθεση με την παραβολή που δεν έχει).

Δείτε ακόμη

Πολική κοινή
Υπερβολή
Παραβολή

Επιστροφή στο Γεωμετρικόν

http://users.math.uoc.gr/~pamfilos/