Hyperbola

Υπερβολή

[0] Η υπερβολή μπορεί να ορισθεί ως γεωμετρικός τόπος των σημείων Χ των οποίων οι αποστάσεις από δύο σταθερά σημεία {F,F'} διαφέρουν κατά μία σταθερά 2a.
X(x,y): ||XF'|-|XF|| = 2a.
Τα {F,F'} λέγονται εστίες της υπερβολής. Η ευθεία FF' λέγεται μείζων άξονας της υπερβολής. Το μέσον O του ευθύγραμμου τμήματος FF' λέγεται κέντρο της υπερβολής. Τα σημεία {A,A'} στα οποία η υπερβολή τέμνει τον μείζονα άξονα λέγονται κορυφές της υπερβολής. Οι υπολογισμοί που γίνονται παρακάτω προϋποθέτουν ότι η αρχή των αξόνων είναι στο Ο και ότι ο μείζων άξονας συμπίπτει με τον x-άξονα.
[1] Η σταθερά a = |AA'|/2 λέγεται επίσης μείζων άξονας της υπερβολής.
[2] Ο κύκλος με κέντρο το O, και ακτίνα a (διάμετρο ΑΑ') λέγεται βοηθητικός κύκλος της υπερβολής.
[3] Ορίζοντας την εστιακή απόσταση, |FF'| = 2c, βλέπουμε εύκολα ότι ισχύουν οι σχέσεις:

[4] Η σταθερά b λέγεται ελάσσων άξονας της υπερβολής. Η ποσότητα e = c/a λέγεται εκκεντρότητα της υπερβολής.
[5] Η εξίσωση y²/b² - x²/a² = 1 ορίζει επίσης μιά υπερβολή που λέγεται συζυγής υπερβολή της αρχικής.
[6] Οι δύο ευθείες που ορίζονται από την εξίσωση x²/a² - y²/b² = 0 λέγονται ασύμπτωτοι της υπερβολής.

[8] Η ευθεία η κάθετη στον x-άξονα στο σημείο H(h,0) λέγεται μία διευθετούσα της υπερβολής. Υπάρχει και μία άλλη διευθετούσα της υπερβολής που είναι η ευθεία η συμμετρική της προηγουμένης ως προς Ο. Οι δύο διευθετούσες είναι οι πολικές των εστιών ως προς την υπερβολή.
H τελευταία εξίσωση δείχνει ότι κάθε κλάδος της υπερβολής συμπίπτει με τον τόπο των σημείων X γιά τα οποία ο λόγος των αποστάσεων από μία εστία F και την πλησίον της διευθετούσα είναι e = c/a > 1.
[9] Η κατεύθυνση της καθέτου στο X(x,y) είναι (x/a², -y/b²), άρα η εξίσωση της εφαπτομένης είναι
xu/a² - yv/b² = 1 (ως προς μεταβλητές (u,v)).
Τα σημεία {N,T} όπου η κάθετος/εφαπτόμενη τέμνουν τον x-άξονα υπολογίζονται εύκολα (οι τετμημένες τους) ότι είναι {x(a²+b²)/a², a²/x}, που έχουν γινόμενο c²=a²+b². Αυτό συνεπάγεται ότι τα {T,N} είναι αρμονικά συζυγή ως προς {F,F'} και επειδή η γωνία στο X είναι ορθή οι ευθείες XT, XN συμπίπτουν με τις διχοτόμους της γωνίας FXF'.
[10] Αυτό συνεπάγεται ότι το συμμετρικό F* του F ως προς την εφαπτόμενη XT είναι επί της XF' και ότι το μέσον G της FF* είναι επι του βοηθητικού κύκλου με διάμετρο AA'.
[11] Από την συμμετρία της υπερβολής ως προς το κέντρο της έπεται ότι το άλλο σημείο τομής G' της ευθείας FG με τον βοηθητικό κύκλο έχει επίσης την ιδιότητα ότι η κάθετος στην FG στο G' είναι εφαπτόμενη της υπερβολής. Η εφαπτόμενη αυτή συμπίπτει με την εφαπτόμενη στο συμμετρικό σημείο του Χ, δηλαδή το σημείο με συντεταγμένες (-x,-y).
[12] Όλες οι ιδιότητες της υπερβολής που εξετάστηκαν, έχουν τις ανάλογές τους γιά ελλείψεις (δες Έλλειψη ). Ελλείψεις και υπερβολές είναι τα δύο είδη κωνικών που ονομάζονται κεντρικές κωνικές, διότι έχουν κέντρο συμμετρίας.
Δείτε το αρχείο Ασυμπτωτικές υπερβολής γιά την εξίσωση της υπερβολής ως προς άξονες συντεταγμένων που συμπίπτουν με τις (εν γένει μη-ορθογώνιες) ασυμπτώτους της.

Δείτε ακόμη

Ασυμπτωτικές υπερβολής
Έλλειψη>
Παραβολή

Επιστροφή στο Γεωμετρικόν

http://users.math.uoc.gr/~pamfilos/