HyperbolaAsymptotics

1. Ασύμπτωτοι της υπερβολής

Δείτε το Υπερβολή γιά τον ορισμό της υπερβολής και την εξίσωσή της ως προς τους κύριους άξονές της:

Όπου c² = a²+b², c = |FF*|/2 είναι το ήμισυ της εστιακής απόστασης και e = c/a, είναι η εκκεντρότητα της υπερβολής (e > 1). Η γωνία της ασυμπτώτου με τον x-άξονα δίδεται από την:

Αναφέροντας την καμπύλη σε συντεταγμένες (u, v) ως προς τις δύο ασυμπτώτους και υπολογίζοντας τις σχέσεις τους με τις καρτεσιανές βρίσκουμε ότι αυτές περιγράφονται με τις εξισώσεις:

Το σχήμα δείχνει επίσης την αντίστροφη διαδικασία. Πώς να προσδιορισθούν οι άξονες της υπερβολής από την εξίσωση uv=c²/4, ως προς τις ασυμπτωτικές της: Όρισε τον κύκλο (Ο,c) και προσδιόρισε τα ABCD, F, F* και E. Αυτή η διαδικασία του προσδιορισμού της υπερβολής από δύο τεμνόμενες ευθείες (που παίζουν τον ρόλο των ασυμπτώτων) και τον θετικό αριθμό c² υλοποιείται σε ένα δυναμικό σχήμα του EucliDraw στο αρχείο Υπερβολής εξίσωση ως προς ασυμπτωτικές .

2. Μιά ιδιότητα των ασυμπτώτων

Γιά κάθε σημείο P της υπερβολής φέρε παράλληλο προς τον ελάσσονα άξονα, τέμνοντα τις ασυμπτώτους στα {I,J}. Τότε
PI*PJ = b².

Η ισότητα αυτή προκύπτει από την επόμενη βασική σχέση (μέσω κανόνα ημιτόνου):

Παρατήρηση Αυτή η σχέση γενικεύεται ως εξής. Θεώρησε μιά τυχαία ευθεία διά του P τέμνουσα τις ασυμπτώτους στα σημεία {I',J'} τότε

Συνεπώς, όταν η τέμνουσα I'J' κινήται παράλληλα προς εαυτήν το γινόμενο PI'*PJ' παραμένει σταθερό. Άρα όταν το P έλθει στην θέση του P' η σταθερότητα της τιμής αυτής συνεπάγεται PI'=P'J'.

3. Πρόβλημα κατασκευής

Κατασκεύασε υπερβολή από τις ασύμπτωτές της και ένα σημείο P επ' αυτής.

Εφάρμοσε την προηγούμενη σχέση και προσδιόρισε το b. Κατόπιν κατασκεύασε το ABCD που ορίζει τα διάφορα στοιχεία της υπερβολής (άξονες, εστίες κτλ.).

Δείτε ακόμη

Υπερβολής εξίσωση ως προς ασυμπτωτικές
Υπερβολή

Επιστροφή στο Γεωμετρικόν

http://users.math.uoc.gr/~pamfilos/