HyperbolaProperty

Μιά ιδιότητα της υπερβολής

Δίδονται δύο τεμνόμενες ευθείες e = AB, f = AC και σημείο D μη περιεχόμενο σε αυτές.
Θεώρησε όλες τις ευθείες διά του D και τα σημεία τομής τους G, H με τις e, f. Πάρε το συμμετρικό Ι του σημείου A ως προς το μέσον της GH. Ο γεωμετρικός τόπος του I είναι υπερβολή με ασυμπτωτικές παράλληλες των e, f, και διερχόμενες διά του D (κέντρο της υπερβολής). Η εξίσωση αυτής της υπερβολής ως προς τις ασυμπτώτους της είναι x*y = a*b, με a = |DJ| και b = |DE|.

Πράγματι, από τα όμοια παραλληλόγραμμα DEHK και GAHI έχουμε x/b = (x-a)/(b-y). Όπου x = DK και y = IK παριστάνουν τις συντεταγμένες του I ως προς τις ευθείες DJ, DE, παράλληλες των AC και AB αντιστοίχως. Έπεται ότι x*y = a*b. Ο υπολογισμός αυτός ορίζει το c μέσω της a*b = c²/4. Το υπόλοιπο της κατασκευής προκύπτει από την συζήτηση στο αρχείο Υπερβολής εξίσωση ως προς ασυμπτωτικές .

Δείτε ακόμη

Υπερβολή
Υπερβολής εξίσωση ως προς ασυμπτωτικές

Επιστροφή στο Γεωμετρικόν

http://users.math.uoc.gr/~pamfilos/