Δίδονται δύο τεμνόμενες ευθείες e = OB, f = OC και σημείον D μη κείμενον επ' αυτών. Θεώρησε όλες τις ευθείες διά του D και τις τομές τους E, F με τις ευθείες e, f. Δείξε ότι ο τόπος του σημείου X που διαιρεί το ευθύγραμμο τμήμα EF σε δοθέντα λόγο r είναι υπερβολή με ασύμπτωτες παράλληλες προς τις ευθείες {OB,OC}.
Είναι φυσικό να θεωρήσουμε το (πλαγιογώνιο) σύστημα συντεταγμένων μέ άξονες τις ευθείες {OB,OC}.
Υπολογίζουμε πρώτα τους συντελεστές της μεταβλητής ευθείας DX και τις τομές της με τους άξονες αυτούς.
Οι συντελεστές της EF δίδονται από το εξωτερικό γινόμενο (x,y,1) x (a,b,1) = (y-b, a-x, bx-ay).
Οι τομές της με τους άξονες είναι
E(0,y'), με y' = (ay-bx)/(a-x), και
F(x',0), με x' = (ay-bx)/(y-b).
Η βασική σχέση προκύπτει από τα όμοια τρίγωνα του σχήματος:
y/(y-y') = r <=> y = r(y-y') <=> y = r(y - (ay-bx)/(a-x)) <=> y = r(bx-xy)/(a-x) <=>
xy = Ux + Vy, με U = rb/(r-1) και V = a/(1-r).
Αλλάζουμε το σύστημα συντεταγμένων σε ένα (x*,y*) που προκύπτει μέσω μεταφοράς της αρχής αξόνων:
x = x* + d1, y = y* + d2 , η οποία μετασχηματίζει την εξίσωση στην
xy = x*y* + x*d2 + y*d1 + d1d2 = Ux+Vy = U(x*+d1)+V(y*+d2) = Ux* + Vy* + (Ud1+Vd2).
Ορίζοντας d1 = V και d2 = U, παίρνουμε την εξίσωση
x*y* = UV.
Ο σύντομος αυτός υπολογισμός αποδεικνύει τον ισχυρισμό και δίδει την βάση ενός ακριβούς σχεδιασμού της υπερβολής.
Από τους παραπάνω τύπους προκύπτει ότι το κέντρο της υπερβολής είναι στην διαγώνιο του παραλλήλογράμμου που ενώνει τα σημεία A(a,0) και B'(0,b) στις αρχικές συντεταγμένες και ικανοποιεί την Ο*Α/Ο*Β' = r. Ειδικά όταν το r=-1, δηλαδή το Χ είναι το μέσον της EF, τότε το κέντρο της υπερβολής είναι το μέσον του ευθυγράμμου τμήματος OD και συνεπώς τα σημεία {O, D} είναι συμμετρικά σημεία της υπερβολής.
Τα αποτελέσματα του Υπερβολής ιδιότητα (*) μπορούν να αποδειχθούν εύκολα και από αυτά εδώ. Πράγματι, είναι εύκολο να δεί κανείς ότι ο τόπος του συμμετρικού του Ο ως προς το Χ είναι επίσης υπερβολή. Το πρόβλημα στο (*) αντιστοιχεί στην ειδική περίπτωση r = -1, που κάνει το X να είναι το μέσον της EF.
![[alogo]](alogo.png){kind=small}
1. Μιά ιδιότητα της υπερβολής - II ![[0_0]](HyperbolaProperty2_files/HyperbolaProperty2_0_0_0.png)
![[0_1]](HyperbolaProperty2_files/HyperbolaProperty2_0_0_1.png)
![[0_2]](HyperbolaProperty2_files/HyperbolaProperty2_0_0_2.png)
![[1_0]](HyperbolaProperty2_files/HyperbolaProperty2_0_1_0.png)
![[1_1]](HyperbolaProperty2_files/HyperbolaProperty2_0_1_1.png)
![[1_2]](HyperbolaProperty2_files/HyperbolaProperty2_0_1_2.png)