Isometries_Product

Σύνθεση ισομετριών

Εδώ μας ενδιαφέρει μιά ειδική σύνθεση ισομετριών που ορίζεται ως εξής:
Δίδεται τρίγωνον t = (ABC) και σημείον E επί της πλευράς του BC, ορίζον την μεταφορά s = [2*CE].

Μας ενδιαφέρει ο υπολογισμός της σύνθεσης ισομετριών: f = a*b*s*c.
Όπου a, b, c συμβολίζουν τις ωρολογιακές περιστροφές ως προς τις κορυφές A, B, C κατά τις αντίστοιχες γωνίες του τριγώνου. Η σύνθεση ισομετριών εφαρμόζεται από δεξιά προς τα αριστερά: ( f(x) = a(b(s(c(x))))).

Μια τέτοια σύνθεση ισομετριών είναι πάντοτε μιά συμμετρία ως προς σημείον K επί της πλευράς AC.

Αυτό αποδεικνύεται από τις επόμενες παρατηρήσεις (F είναι το σημείον τομής των διχοτόμων του t):
- H c είναι σύνθεση ανακλάσεων κατά τις CF και CB = σύνθεση ανακλάσεων κατά τις CP και CI.
- Η s είναι σύνθεση ανακλάσεων κατά τις CI και EP (ορθογώνια της BC).
- Η s*c είναι τότε σύνθεση των ανακλάσεων ως προς RC and RE.
- Κατασκεύασε στην BP τρίγωνο BPQ, όμοιο του BFC. Η κορυφή του Q περιέχεται στην διχοτόμο AF.
- Τότε η b*s*c είναι σύνθεση ανακλάσεων ως προς τις QP και QB.
- Στρέψε το τρίγωνο BQP περί το Q κατά την γωνία AQB για να το φέρεις στην θέση XQY.
- Η a*b*s*c γίνεται η σύνθεση των ανακλάσεων ως προς τις QY και AC.
- Οι QY και AC είναι ορθογώνιες, ορίζοντας έτσι μιά συμμετρία ως προς το σημείο τομής τους K.
- |JK| = |CE|. Η ισότητα των μηκών αποδεικνύεται υπολογίζοντας την εξάρτηση του |JK| από το |CE|, ή δείχνοντας ότι αυτά τα μήκη συνδέονται με γραμμική σχέση και ότι όταν E = G, τότε K = C.

Αυτή η ενδιαφέρουσα σχέση χρησιμοποιείται στο έγγραφο: Στροφών σύνθεση (περιττών) .
Ένα παρόμοιο συμπέρασμα για τετράπλευρα, αποδεικνυόμενο στην ουσία με τα ίδια επιχειρήματα, περιέχεται στο έγγραφο: Ισομετριών γινόμενο (ΙΙ) .

Δείτε ακόμη

Ισομετριών γινόμενο (ΙΙ)
Στροφών σύνθεση (περιττών)
Στροφών σύνθεση (σε τρίγωνο)

Επιστροφή στο Γεωμετρικόν

http://users.math.uoc.gr/~pamfilos/