Line_Homography

1. Ομογραφικός μετασχηματισμός σημείων δύο ευθειών

Ομογραφικός μετασχηματισμός μεταξύ δύο ευθειών {L, L'} λέγεται μία αντιστρέψιμη απεικόνιση F: L ----> L' η οποία διατηρεί τον διπλό λόγο οποιωνδήποτε τεσσάρων σημείων {Α,B,C,D} της L. Με άλλα λόγια, γιά κάθε τετράδα σημείων (A,B,C,D) και τις εικόνες τους (Α'=F(A), B'=F(B), C'=F(C), D'=F(D)) ισχύει (Α,Β,C,D) = (A',B',C',D').
Από την παράσταση του διπλού λόγου ως προς ένα οποιοδήποτε σύστημα συντεταγμένων στις ευθείες (που ορίζεται μέσω δύο σημείων που καθορίζουν το μηδέν και την μονάδα επί της ευθείας), προκύπτει ότι ένας τέτοιος μετασχηματισμός παρίσταται σε συντεταγμένες μέσω του τύπου

Η γενικότερη ομογραφία μεταξύ δύο ευθειών L, L' κατασκευάζεται με την ακόλουθη συνταγή :
α) Επίλεξε τρία τυχαία σημεία A, B, C στην L.
β) Επίλεξε τρία τυχαία σημεία A', B', C' στην L'.
γ) Για το D στην L κατασκεύασε αντίστοιχο D' στην L', τέτοιο ώστε οι διπλοί λόγοι να είναι ίσοι (A,B,C,D) = (A',B',C',D').

2. Γεωμετρική κατασκευή της ομογραφίας δύο ευθειών

Η επόμενη γεωμετρική κατασκευή μιάς ομογραφίας μεταξύ δύο ευθειών {L, L'} στηρίζεται στην παραπάνω συνταγή και το γεγονός ότι μιά δέσμη ευθειών διερχομένων διά του ιδίου σημείου ορίζει τον ίδιο διπλό λόγο σε κάθε διατέμνουσα αυτής.

Γεωμετρική κατασκευή του D' = F(D).
1) Σχεδίασε παράλληλη L'' της L από το A'.
2) Πρόβαλλε παράλληλα προς την AA' , στην L'' : B --> B'', C --> C'', D --> D''.
3) Βρες την τομή Χ των ευθειών C'C'' και B'B'' (γιά την δημιουργία του κέντρου της δέσμης).
4) Φέρε την ευθεία XD'' και βρες την τομή της D' με την L'.

Η Ευθεία DD' (γιά μεταβαλλόμενο D επί της L) περιβάλλει μία κωνική τομή της οποίας εφάπτονται και οι δύο ευθείες {L, L'}. Αυτός ο τρόπος κατασκευής αναφέρεται ως Chasles-Steiner μέθοδος ορισμού κωνικής.

3. Σχετική εφαρμογή

Δοθέντων δύο ανεξαρτήτων διανυσμάτων {u,v} βρες την συνθήκη που πρέπει να ισχύει έτσι ώστε οι ευθείες οι διερχόμενες από τα σημεία {su, tv} να διέρχονται από σταθερό σημείο K = k₁u + k₂ v.

Χρησιμοποιώντας σύστημα συντεταγμένων με βασικά διανύσματα τα {u,v}, οι ευθείες θα περιγράφονται από εξισώσεις της μορφής ax+by+c=0.
- το σημείο (s,0) επί της ευθείας => as+c=0,
- το σημείο (0,t) επί της ευθείας => bt+c=0,
άρα η ευθεία έχει την μορφή x/s + y/t - 1 = 0 <==> xt + ys - st = 0.
Η ευθεία αυτή διέρχεται από το K(k₁,k₂) <==> k₁t + k₂s - st = 0.
Αυτή είναι μιά ομογραφική σχέση που παριστάνεται γενικώτερα στην μορφή
k₁t + k₂s + k₃st = 0.
Αντίστροφα, κάθε τέτοια ομογραφική σχέση ορίζει σημεία {su, tv} ως προς δύο ανεξάρτητα διανύσματα, καθώς και σημείο K με αντίστοιχες συντεταγμένες (-k₁/k₃, -k₂/k₃) ως προς την βάση {u,v}. Όλες οι ευθείες οι διερχόμενες από τα {su, tv} διέρχονται επίσης από το Κ.

Παρατήρηση Η προσθήκη μιάς σταθεράς k₄ στην σχέση αλλάζει ριζικά την συμπεριφορά των ευθειών που διέρχονται από τα σημεία {su, tv}. Πράγματι, η περιβάλλουσα τέτοιων ευθειών, γιά τις οποιες τα {s,t} συνδέονται με μία σχέση της μορφής
k₁t + k₂s + k₃st + k₄ = 0 (με μή-μηδενικό k₄),
είναι μιά κωνική.

Δείτε ακόμη

Διπλός λόγος
Κωνικές κατά Chasles-Steiner
Αρμονική δέσμη ευθειών

Επιστροφή στο Γεωμετρικόν

http://users.math.uoc.gr/~pamfilos/