CrossRatio0

1. Διπλός λόγος

Δοθείσης ευθείας (e) και τεσσάρων σημείων της {A, B, C, D} διπλό λόγο των σημείων αυτών ονομάζουμε τον αριθμό:
(ABCD) = ((a-c)/(b-c))/((a-d)/(b-d)).
Η δεξιά πλευρά είναι ο διπλός λόγος τεσσάρων αριθμών. Εδώ ταυτίζουμε ένα σημέιο με την τετμημένη του ως προς ένα αυθαίρετο σύστημα συντεταγμένων της ευθείας.
Το σύστημα καθορίζεται από δύο σημεία {O, E} της ευθείας. Γιά κάθε άλλο σημείο X η τετμημένη του είναι ο λόγος των προσανατολισμένων τμημάτων x = OX/OE. Τα σημεία {A(a), B(b), C(c), D(d)} έχουν αντίστοιχες τετμημένες (λέω συχνά και συντεταγμένες) {a,b,c, d}.

Ο ορισμός του (a,b,c,d) είναι ανεξάρτητος της θέσεως των {O, E}, δηλαδή ανεξάρτητος του ειδικού συστήματος συντεταγμένων. Πράγματι, μετάβαση σε άλλο σύστημα (οριζόμενο από άλλα {O', E'}), δίδει τετμημένη x' συνδεόμενη με την παλιά μέσω σχέσεως της μορφής: x = H(x) = m*x'+n, όπου m και n είναι σταθερές. Το κλειδί της υπόθεσης είναι ότι αντικαθιστώντας αυτήν την έκφραση του x στον τύπο του διπλού λόγου ευρίσκουμε τον ίδιο αριθμό εκφρασμένο στο νέο σύστημα με τον ίδιο τύπο.

2. Παρατηρήσεις

[1] Γενικώτερα η παράσταση (abcd) = ((a-c)/(b-c))/((a-d)/(b-d)) είναι αναλλοίωτη ως προς τους μετασχηματισμού της μεταβλητής x = h(x) = (m*x'+n)/(p*x'+q) και τούτο κάνει δυνατή την γενίκευση του διπλού λόγου γιά τέσσαρα σημεία επί κωνικής (δες Διπλός λόγος σε κωνική ).
[2] Σχέσεις αυτής της μορφής: x = h(x) = (m*x'+n)/(p*x'+q), με μη-μηδενική ορίζουσα (m*q-n*p) λέγονται ομογραφικές σχέσεις και μελετώνται στο Ομογραφική σχέση .
[3] Ένας από τους αριθμούς μπορεί να ληφθεί στο άπειρο. Γιά παράδειγμα, παίρνοντας το d στο άπειρο ο διπλός λόγος γίνεται (a-c)/(b-c). Παίρνοντας επίσης c=0, ο διπλός λόγος γίνεται a/b. Έτσι ο λόγος δύο αριθμών είναι ίσος με τον διπλό λόγο (a,b,0,I), όπου το I συμβολίζει το άπειρο.
[4] Είναι αξιοσημείωτο το πλήθος των γεωμετρικών ιδιοτήτων που εξαρτώνται από τον διπλό λόγο και τις ιδιότητές του. Μπορεί να αποδειχθεί ότι ο διπλός λόγος, θεωρούμενος ως μία συνάρτηση τεσσάρων μεταβλητών, είναι η μοναδική αναλλοίωτος της προβολικής γεωμετρίας. Συνεπώς περιμένει κανείς να την βρεί πίσω από κάθε σχέση σύμπτωσης μεταξύ σημείων και ευθειών. Τούτο συμβαίνει πράγματι, ακόμη και θεωρήματα που φαίνονται άσχετα προς αυτόν, όπως λ.χ. το θεώρημα του Pascal (δες Θεώρημα του Pascal ).

3. Ιδιότητες του διπλού λόγου

[1] Δοθέντων τριών διαφορετικών ανά δύο αριθμών x₁, x₂, x₃ η συνάρτηση y=f(x) = (x₁x₂x₃x) ορίζει μιά αντιστρέψιμη ομογραφική σχέση, της οποίας το γράφημα είναι μιά ορθογώνια υπερβολή.
[2] Δοθέντων τριών σημείων σε γενική θέση (x₁,y₁), (x₂,y₂), (x₃,y₃) ο τύπος
(y₁y₂y₃y) = (x₁x₂x₃x)
ορίζει μιά και μοναδική ομογραφική σχέση y=f(x), τέτοια ώστε f(x₁)=y₁, f(x₂)=y₂, f(x₃)=y₃.
[3] Κάθε μετάθεση που είναι γινόμενο δύο εναλλαγών των γραμμάτων {a,b,c,d} αφήνει τον διπλό λόγο αναλλοίωτο δηλαδή
(abcd) = (badc) = (cdab) = (dcba).
Άρα από τις 4! μεταθέσεις των 4 γραμμάτων μόνον 6 δίδουν διαφορετικές τιμές.
[4] (abdb) = (abcd)^-1 και (acbd)+(abcd)=1. Από τον ορισμό και αυτές έπονται οι:
[5] Εάν (abcd) = k, τότε
(abdc) = k^-1,
(acbd) = 1-k,
(acdb) = 1/(1-k),
(adbc) = (k-1)/k,
(adbc) = k/(k-1).
[4] Οι τέσσαρες αριθμοί {a,b,c,d} είναι ανά δύο διαφορετικοί τότε και μόνον όταν ο διπλός λόγος (abcd) έχει μιά τιμή διαφορετική από τις 1, 0 και I (άπειρο).
[5] Οι τύποι αυτοί έχουν ενδιαφέρον και στην περίπτωση που k = (abcd) = -1, δηλαδή στην περίπτωση, που όπως λέμε, σχηματίζουν μιά αρμονική τετράδα σημείων (δες Αρμονική διαίρεση ).

4. Άλλες ιδιότητες

Θεώρησε τέσσαρα σημεία {A, B, C, D} ευθείας (e) και ένα πέμπτο E εκτός της (e). Τότε ο διπλός λόγος εκφράζεται μέσω των γωνιών που σχηματίζουν στο E οι ευθείες {EA, EB, EC, ED}.
Τέσσαρες ευθείες όπως οι προηγούμενες (διερχόμενες από το ίδιο σημείο Ε) λέγονται δέσμη ευθειών στο E και ο διπλός λόγος γράφεται E(ABCD). Η εξάρτηση του E(ABCD) από τις γωνίες και μόνον δείχνει ότι μιά άλλη ευθεία (g) τέμνουσα τις EA, EB, EC, ED ορίζει επ' αυτής τέσσαρα σημεία με τον ίδιο διπλό λόγο. Όθεν και η νομιμοποίηση να μιλάμε γιά διπλό λόγο τεσσάρων ευθειών διερχομένων από το ίδιο σημείο.

Δες το αρχείο Διπλός λόγος γιά ευθείες γιά μιά συζήτηση του διπλού λόγου δέσμης τεσσάρων ευθειών.
Δες το αρχείο Αρμονική δέσμη γιά μερικές εφαρμογές του διπλού λόγου τεσσάρων ευθειών.

Δείτε ακόμη

Αρμονική δέσμη
Αρμονική διαίρεση
Διπλός λόγος γιά ευθείες
Διπλός λόγος σε κωνική
Ομογραφική σχέση
Θεώρημα του Pascal

Επιστροφή στο Γεωμετρικόν

http://users.math.uoc.gr/~pamfilos/