Mathot

1. Σημείο Mathot κυκλικού τετραπλεύρου

Οι κάθετοι από τα μέσα πλευρών στις απέναντι πλευρές ενός εγγεγραμμένου σε κύκλο τετραπλεύρου, διέρχονται από σημείον Μ, συμμετρικό του κέντρου Ε του περιγεγραμμένου κύκλου ως προς το κέντρο βάρους Ν του τετραπλεύρου. Το σημείο Μ λέγεται σημείο Mathot του κυκλικού τετραπλεύρου ή αντικέντρο αυτού.

Από το κέντρο E του περιγεγραμμένου κύκλου του ABCD φέρε την (EN) ενούσα το E με το σημείο τομής N των ευθειών που ενώνουν τα μέσα απέναντι πλευρών του τετραπλεύρου (Ν: κέντρο βάρους του τετραπλεύρου). Προέκτεινε το EN κατά το διπλάσιο στο EM. Το EGMI είναι, εκ κατασκευής, παραλληλόγραμμο. Άρα η ευθεία (IM) είναι κάθετος στην CD, όπως και η παράλληλός της EG. Άρα κάθε κάθετος από το μέσον πλευράς προς την απέναντι πλευρά περνά από το αξιοσημείωτο αυτό σημείο Μ, που είναι συμμετρικό του κέντρου του κύκλου ως προς το κέντρο βάρους Ν του τετραπλεύρου.

2. Τα τέσσαρα μερικά τρίγωνα

Διαλέγοντας τρείς από τις τέσσερις κορυφές τετραπλεύρου ορίζεται ένα μερικό τρίγωνο. Στο σχήμα το ΑΒC είναι ένα μερικό τρίγωνο. Το συμμετρικό P του τέταρτου σημείου D ως προς το σημείο Mathot Μ είναι το ορθόκεντρο του μερικού τριγώνου ABC.

Aυτό φαίνεται αμέσως από την παραλληλία των ΜG και PC. Η MG είναι κάθετος στην ΑΒ, άρα και η CP θα είναι κάθετος στην ΑΒ. Ανάλογα και η ΡΑ είναι κάθετος στην ΒC, άρα το Ρ είναι το ορθόκεντρο του ABC.

3. To τετράπλευρο των ορθοκέντρων

Το τετράπλευρο GJHI των ορθοκέντρων των τεσσάρων μερικών τριγώνων ενός κυκλικού τετραπλεύρου ABCD είναι συμμετρικό του αρχικού ως προς το σημείον Mathot του αρχικού τετραπλεύρου.

Αυτό είναι πόρισμα της ιδιότητας της προηγουμένης παραγράφου. Λόγω συμμετρίας το σημείον Mathot του δευτέρου τετραπλεύρου συμπίπτει με αυτό του αρχικού.

4. Oι κύκλοι του Euler

Oι κύκλου του Euler των τεσσάρων μερικών τριγώνων κυκλικού τετραπλεύρου διέρχονται από το σημείο Mathot Μ αυτού.

Αυτό είναι συνέπεια του ότι το ορθόκεντρο είναι κέντρο ομοιοθεσίας του περιγεγραμμένου με τον κύκλο του Euler, με λόγο ομοιοθεσίας 1/2. Άρα ο κύκλος του Εuler του μερικού τριγώνου ABC θα είναι ο κύκλος με κέντρο D' το μέσον της ΟD₁, όπου D₁ το συμμετρικό του D ως προς Μ (ορθόκεντρο του ABC) και ακτίνα ίση με το ήμισυ της ακτίνας του περικύκλου του τετραπλεύρου ABCD. Ο περίκυκλος αυτός διέρχεται από το D, άρα ο ομοιόθετός του κύκλος Euler του ΑΒC θα διέρχεται από το μέσον Μ της D₁D.

Οι επόμενες ιδιότητες είναι εύκολα αποδεικνυόμενες συνέπειες των προηγουμένων.
[1] Τα κέντρα των τεσσάρων κύκλων Euler σχηματίζουν τετράπλευρο Α'Β'C'D' ομοιόθετο του A₁B₁C₁D₁ με λόγο ομοιοθεσίας 1/2 και κέντρο ομοιοθεσίας το περίκεντρο του ABCD.
[2] Το Α'B'C'D' είναι και ομοιόθετο του ABCD ως προς σημείο S που χωρίζει το τμήμα ΟΜ (Ο: περίκεντρο του ΑBCD) σε λόγο 2:1 με λόγο ομοιοθεσίας -1/2.

Δείτε ακόμη

Κύκλος του Euler
Ορθόκεντρο

Βιβλιογραφία

Altshiller-Court, Nathan College Geometry: A Second Course in Plane Geometry, 2nd Ed.. New York, Barnes and Noble, 1952, pp. 131-135.

Επιστροφή στο Γεωμετρικόν

http://users.math.uoc.gr/~pamfilos/