Orthocenter

1. Ορθόκεντρο

Τα ύψη {AA',BB',CC'} τριγώνου ABC διέρχονται από κοινό σημείο, το ορθόκεντρο H του τριγώνου.

Η απλούστερη ίσως απόδειξη της σύμπτωσης των τριών υψών είναι να ταυτίσουμε τα τελευταία με τις μεσοκαθέτους του αντισυμπληρωματικού τριγώνου A''B''C'', που κατασκευάζεται φέρνοντας παραλλήλους προς τις πλευρές του τριγώνου από τις αντίστοιχες απέναντι κορυφές. Το Η ταυτίζεται τότε με το περίκεντρο του τριγώνου A''B''C''.

2. Βασικές ιδιότητες

[1] Προέκτεινε την CC' έως ότου τμήσει ξανά το περίκυκλο στο E. Τα τρίγωνα AHB και AEB είναι ίσα αφού έχουν κοινή την AB και ίσες γωνίες προσκείμενες σε αυτήν την πλευρά.
[2] Συνεπώς το E είναι συμμετρικό (κατοπτρικό) του H ως προς την πλευρά AB.
[3] Προέκτεινε την AO (O το περίκεντρο) έως ότου τμήσει στο J τον περίκυκλο. Το CHBJ είναι παραλληλόγραμμο αφού οι απέναντι πλευρές του έιναι αντίστοιχα κάθετες στις {AC, AB}.
[4] Το OK (K μέσον της AB) έχει μήκος το μισό της BJ = CH αφού ενώνει τα μέσα πλευρών του ABJ.
[5] Οι CO και HK συναντώνται στο αντιδιαμετρικό L του C αφού η OK είναι παράλληλος και το μισό της HC.
[6] Έστω M το κατοπτρικό του O ως προς AB. Ισχύει OM = JB = CH είναι το διανυσματικό άθροισμα: OM = OA + OB.
[7] Το OH είναι το διανυσματικό άθροισμα : OH = OM + OC = OA + OB + OC .

3. Εφαρμογή

Θεώρησε 6 σημεία στον κύκλο: N, O, P, Q, R, S και διάλεξε 3 από τα 6. Γιά παράδειγμα, τα N,O,P και κατασκεύασε το ορθόκεντρο T του τριγώνου (NOP). Θεώρησε και το κέντρο βάρους U των υπολοίπων τριών σημείων. Η ευθεία UT περιέχει το σημείο W, που ορίζεται από το διανυσματικό άθροισμα: VW = (1/4)(VN+VO+VP+VQ+VR+VS). Έτσι γιά όλες τις επιλογές 3 εκ των 6 σημείων προκύπτουν (20) αντίστοιχες ευθείες UT διερχόμενες όλες διά του σημείου W.

Δείτε ακόμη

Ευθεία και κύκλος του Euler
Ορθόκεντρο (ΙΙ)

Επιστροφή στο Γεωμετρικόν

http://users.math.uoc.gr/~pamfilos/