MenelausApp

1. Εφαρμογή θεωρήματος Μενελάου σε παραλληλόγραμμο

Θεώρησε παραλληλόγραμμο EFGH και δύο σημεία {I, J} στις ευθείες που ορίζουν δύο απέναντι πλευρές του. Τα σημεία τομής {K, L} των τριγώνων HJG και EIF ορίζουν ευθεία e = [KL] διερχόμενη διά του κέντρου του παραλληλογράμμου.

Εφάρμοσε το θεώρημα του Μενελάου (δες Θεώρημα του Μενελάου ) δύο φορές γιά την ευθεία e και τα δύο τρίγωνα :
[1] EIF => (MF/ME)(KE/KI)(LI/LF) = 1,
[2] HJG => (NH/NG)(LG/LJ)(KJ/KH) = 1.
Διαίρεσε τις εξισώσεις και λάβε υπόψη ότι KE/KI = KJ/KH, LI/LF = LG/LJ => MF/ME = NH/NG.
To τελευταίο συνεπάγεται ότι MF = NH, άρα η ευθεία e διέρχεται από το κέντρο X του παραλληλογράμμου.

Η ιδιότητα αυτή είναι μιά ειδική περίπτωση του γνωστού θεωρήματος του Πάππου γιά την συγγραμμικότητα τριών σημείων (δες Θεώρημα του Πάππου ). Η γενική περίπτωση αυτού του θεωρήματος ανάγεται στην παρούσα ειδική περίπτωση χρησιμοποιώντας μιάν ειδική προβολικότητα που στέλνει δύο σημεία στο άπειρο.

2. Τέμνοντας τις διαγώνιες

Θεώρησε παραλληλόγραμμο ABCD και αυθαίρετο σημείο E. Φέρε από το E παράλληλες στις πλευρές και σχημάτισε τα παραλληλόγραμμα AHEI και FCGE. Οι διαγώνιοι {HI,FG,BD} αυτών των παραλληλογράμμων καθώς και του αρχικού διέρχονται από κοινό σημείο J.

Θεώρησε το J ως τομή των ευθειών {BD, FG} και εφάρμοσε το θεώρημα του Μενελάου στο τρίγωνο BCD και την διατέμνουσά του FG: (DG/GC)*(CF/FB)*(BJ/JD)=-1.
Σημείωσε ότι DG/GC=AH/HB, CF/FB=DI/IA, άρα (DI/IA)*(AH/HB)*(BJ/JD)=-1. Τούτο, εφαρμόζοντας το αντίστροφο του θεωρήματος του Μενελάου στο τρίγωνο ABD, συνεπάγεται ότι η HI διέρχεται επίσης διά του J.

3. Τέμνοντας τις διαγώνιες, γενική περίπτωση

Η προηγούμενη ιδιότητα είναι ειδική περίπτωση μιάς γενικώτερης που ισχύει γιά τετράπλευρα. Πράγματι, θεώρησε τετράπλευρο q=ABCD και αυθαίρετο σημείο E. Ένωσε το E με δύο κορυφές {K,L} του q και θεώρησε το τετράπλευρο q'=FGIH που ορίζεται από τις τομές των ευθειών {EK,EL} με τις πλευρές του αρχικού τετραπλεύρου. Τα ζεύγη των απέναντι πλευρών του q' διέρχονται από σημεία επί των διαγωνίων του q.

Το σχήμα δείχνει μόνο τις δύο απέναντι πλευρές (HI,FG) του q' (οι άλλες είναι οι (HF,GI)) που τέμνονται στο J.
Η ιδιότητα αποδεικνύεται μετασχηματίζοντας το τετράπλευρο σε παραλληλόγραμμο μέσω προβολικότητας και εφαρμόζοντας τα συμπεράσματα του (2).

Παρατήρηση Από την ιδιότητα αυτή έπεται ότι τα τρίγωνα {HBF, IDG} είναι σημειακά προοπτικά ως προς J. Ο αντίστοιχος άξονας προοπτικότητας είναι η άλλη διαγώνιος AC.

Δείτε ακόμη

Θεώρημα του Μενελάου
Θεώρημα του Πάππου

Επιστροφή στο Γεωμετρικόν

http://users.math.uoc.gr/~pamfilos/