PappusLines

1. Θεώρημα του Πάππου

Θεώρησε τρία σημεία σε μιά ευθεία a και τρία σημεία σε ευθεία b και τις ευθείες που τα ενώνουν, όπως στο σχήμα. Τότε τα σημεία τομής {Α*, Β*, C*} των ευθειών-ενώσεων περιέχονται σε μιά ευθεία c.

Εφαρμόζοντας μιά προβολικότητα που στέλνει τα σημεία {P,Q} σε δύο σημεία στο άπειρο, το AA'C'C γίνεται παραλληλόγραμμο, το Β* γίνεται το κέντρο του παραλληλογράμμου και το θεώρημα ανάγεται στην άσκηση που λύνεται στο Θεώρημα Μενελάου και παραλληλόγραμμα .

2. Περίπτωση προοπτικότητας

Σημείωσε ότι οι ευθείες a, b, c συντρέχουν σε κοινό σημείο (P) ακριβώς στην περίπτωση που οι AA', BB' και CC' διέρχονται από κοινό σημείο (Q). Σ' αυτήν την περίπτωση η c είναι η πολική του P ως προς τις δύο ευθείες a και b. Η επόμενη εικόνα αφορά αυτήν την περίπτωση.
Υπόδειξη: Τα τρίγωνα ΑΑ'C* και CC'A* είναι σημειακά-προοπτικά, άρα κατά το θεώρημα του Desargues είναι και ευθειακά προοπτικά κτλ. (δες Θεώρημα του Desargues ).

Η περίπτωση αυτή ανάγεται στο ότι οι ευθείες {a,b} εναλλάσσονται μέσω της αρμονικής προοπτικότητας με κέντρο Q και άξονα c.

3. Η γενική περίπτωση πάλι

Θεώρησε πάλι τρία σημεία {Α,Β,C} σε μιά ευθεία a και τρία σημεία {A',B',C'} σε ευθεία b και τις ευθείες που τα ενώνουν, όπως στο σχήμα. Θεώρησε επίσης ένα σημείο Β₀ κοντά στο Β και επί της ευθειάς ΒΒ'. Έστω Β₁ το άλλο σημείο τομής της ευθείας ΒΒ' με την κωνική c₀ διά των πέντε σημείων {Α, Α', B₀, C, C'}.
Υπάρχει μιά ομογραφία F₀ της κωνικής c₀ που την διατηρεί αναλλοίωτο και απεικονίζει τα τρία σημεία {A, B₀, C} αντίστοιχα στα σημεία {A', Β₁, C'}. Η ομογραφία αυτή έχει άξονα μία ευθεία c₀.
Εάν αφήσουμε το Β₀ να τείνει προς το Β, τότε το Β₁ θα τείνει προς το Β' και η κωνική c₀ θα τείνει προς την εκφυλισμένη κωνική που αποτελείται από την ένωση των δύο ευθειών {a,b}. Η αντίστοιχη ομογραφία θα τείνει προς ομογραφία F που απεικονίζει την ευθεία a στην b και έχει άξονα ομογραφίας ακριβώς την ευθεία που εξασφαλίζει το θεώρημα του Πάππου.

4. Η επιλογή των σημείων

Η επιλογή των σημείων στο θεώρημα του Πάππου μπορεί να γίνει κατά διαφόρους τρόπους. Το θεώρημα είναι μιά ειδική περίπτωση του θεωρήματος του Pascal που αφορά εξάγωνα και τις τομές απέναντι πλευρών του.
Δοθέντων έξι σημείων επί της κωνικής υπάρχουν εν γένει 60 εξάγωνα (κυρτά και μη) με κορυφές σε αυτά τα σημεία. Παρόμοια και στην περίπτωση των δύο ευθειών {a,b} τα έξι σημεία μπορούν να τοποθετηθούν με πολλούς τρόπους πάνω σε αυτές. Ωστόσο οι ενδιαφέρουσες περιπτώσεις είναι αυτές που οι διαδοχικές κορυφές του εξαγώνου Α₁Α₂Α₃Α₄Α₅Α₆ μιά στην a και η επόμενη/προηγούμενη στην b.
Τα ζεύγη απέναντι πλευρών προκύπτουν διαλέγοντας μία πλευρά, αφήνοντας μιά κορυφή και παίρνοντας την επόμενη πλευρά. Έτσι μιά επιλογή είναι A₁A₂ (αφήνω Α₃) και Α₄Α₅, κατόπιν {Α₂Α₃, Α₅Α₆} και τέλος το ζεύγος απέναντι πλευρών {Α₃Α₄, Α₆Α₁}. Στο επόμενο σχήμα φαίνεται η αντίστοιχη ευθεία του Πάππου γιά μιά ορισμένη διάταξη των κορυφών στις δύο ευθείες {a,b}.

Στο επόμενο σχήμα φαίνεται η αντίστοιχη ευθεία του Πάππου γιά μιά διαφορετική διάταξη των κορυφών στις δύο ευθείες {a,b}.

Δείτε ακόμη

Θεώρημα του Μενελάου
Θεώρημα Μενελάου και παραλληλόγραμμα
Θεώρημα του Desargues

Βιβλιογραφία

Coxeter, H. S. M. and Greitzer, S. L. Geometry Revisited. Washington DC, Math. Assoc. Ammer., 1967, p. 69.
Johnson, R. A. Modern Geometry: An Elementary Treatise on the Geometry of the Triangle and the Circle. Boston, MA: Houghton Mifflin, 1929, p. 237.

Επιστροφή στο Γεωμετρικόν

http://users.math.uoc.gr/~pamfilos/