Orthocenter2

Βασικές ιδιότητες του ορθοκέντρου

Συνεχίζοντας την συζήτηση από το Ορθόκεντρο :
[1] Οι κύκλοι c_CH, c_AB με διαμέτρους CH και AB είναι ορθογώνιοι.
[2] Τα γινόμενα AH*HE = BH*HF = CH*HD.
[3] Το H είναι ριζικό κέντρο οποιωνδήποτε τριών κύκλων διέρχονται από τα σημεία {(A,E), (B,F), (C,D)} αντίστοιχα.
[4] Η γωνία(D'CC') = |γωνία(B)-γωνία(C)|.
[5] Η γωνία (AJE) = 2γωνία(B). Το τρίγωνο AJE είναι ισοσκελές.
[6] Έστω L το σημείο τομής των c_CH, c_AB, τότε το LAJE είναι κυκλικό τετράπλευρο.
[7] Τα σημεία L, H, J, C' είναι συγγραμμικά επ' ευθείας που διχοτομεί την γωνία(ALE).
[8] Το συμμετρικό P του D' ως προς το O, το A, το K και η τομή M του περικύκλου του LAJE με την BC είναι επ' ευθείας.
[9] Το CABP είναι ισοσκελές τραπέζιο.
[10] Η ευθεία Simson P'P'' του P είναι παράλληλος της CC'.
[11] Το ορθόκεντρο H και το περίκεντρο O είναι ισογώνια συζυγή.
[12] Το τρίγωνο IKO είναι ισοσκελές και η γωνία(I)=γωνία(O) = γωνία(B).
[13] Η γωνία των ευθειών e και KM είναι ίση με την γωνία(KIH).
Πρόβλημα: έκφρασε την γωνία HC'D' ως συνάρτηση των στοιχείων του τριγώνου.

[1] Προκύπτει μετρώντας τις γωνίες του IJE.
[2] Προκύπτει από την κυκλικότητα των τετραπλεύρων FABE, BDFC, κτλ..
[3] Προκύπτει από το 2.
[4] Προκύπτει μετρώντας τις γωνίες του CDC'.
[5] ΑΕΒ είναι ορθογώνιο τρίγωνο. Η IJ είναι παράλληλη και μισή της CC' και εφάρμοσε την [4].
[6] Σύγκρινε τις απέναντι γωνίες στα J και L.
[7] Έπεται από το [6].
[8] Μέτρησε τις γωνίες στο M.
[9] Προφανής.
[10] Μέτρησε τις γωνίες στα P' και B χρησιμοποιώντας το [9].
[11] Έπεται από την ισότητα γωνία(ACD)=γωνία(C'CB).
[12] Το IO είναι παράλληλο και μισό του HC'. Η μεσοκάθετος του LJ πρέπει να διέλθει από το μέσον της IO. Επιπλέον τα LM, KO είναι και τα δύο κάθετα στην LA, άρα παράλληλα και γωνία(KOI) = γωνία(JLM) = γωνία(B).

Δείτε ακόμη

Ευθεία και κύκλος του Euler
Ορθόκεντρο

Επιστροφή στο Γεωμετρικόν

http://users.math.uoc.gr/~pamfilos/