OrthodiagonalFromCyclic

Ορθοδιαγώνιο από κυκλικό

Γιά κάθε κυκλικό τετράπλευρο q = ABCD, υπάρχει ένα αντίστοιχο ορθοδιαγώνιο τετράπλευρο p = KLMN με τις εξής ιδιότητες: [1] Το p είναι περιγεγραμμένο περί το q.
[2] Οι διαγώνιοι LN και KM του p περνούν από τα F και E, σημεία τομής των ζευγών πλευρών (AD,BC) και (AB,CD) αντίστοιχα.
[3] Το σημείο τομής O των διαγωνίων LN και KM είναι επί της καθέτου από το H στην ευθεία EF, το H όντας το σημείο τομής των διαγωνίων του q.
[4] Οι ευθείες OA, OB, OC και OD είναι κάθετες στις αντίστοιχες πλευρές του p.
[5] Τα άλλα σημεία τομής αυτών των ευθειών με το p περιέχονται στον περίκυκλο c του q και ορίζουν ένα ορθογώνιο r = A*B*C*D*.
[6] Οι απέναντι πλευρές {(KL,MN), (LM,NK)} του ορθοδιαγωνίου τέμνονται επί της RS, που είναι η παράλληλος της EF από το συμμετρικό S του O ως προς την EF.

Είναι γνωστό ότι το H είναι ο πόλος της EF (δες το CyclicProjective.html ) και ο κύκλος (d) με διάμετρο EF είναι ορθογώνιος στον (c). Φέρε την κάθετο HG και όρισε το σημείο τομής της O με τον κύκλο (d), από την ίδια πλευρά με το κέντρο I του (c). Φέρε τις ορθογώνιες OA στο A, OB στο B, ... κτλ. που ορίζουν το τετράπλευρο p = KLMN. Τα τετράπλευρα q1 = OAKD και q2 = OBMC είναι κυκλικά και το F είναι επί του ριζικού άξονος των περικύκλων τους. Εύκολα βλέπουμε ότι |FO|² = |FP||FQ| = |FA||FD| = |FB||FC|. Άρα τα K, O, M περιέχονται σε ευθεία και το FO είναι κάθετο σε αυτήν την ευθεία, άρα η LΝ διέρχεται από το F. Οι περίκυκλοι των q1 και q2 είναι εφαπτόμενοι της FO στο O. Ανάλογα αποδεικνύεται ότι η LN διέρχεται από το E. Γιά την [6] σημείωσε ότι η ορθογωνιότητα των δύο κύκλων συνεπάγεται ότι η RS είναι η πολική του O ως προς τον κύκλο (ABCD). Συνάγεται ότι προεκτείνοντας την AA* έως ότου τμήσει την RS στο A₁, ευρίσκουμε την αρμονική τετράδα (A, A*, O, A₁) = -1. Ανάλογα ορίζεται και σημείο B₁ επί της RS και ισχύει (B, B*, O, B₁) = -1. Από αυτές τις δύο έπεται ο ισχυρισμός της [6]. Οι υπόλοιποι ισχυρισμοί έπονται εύκολα.
Η κατασκευή του σχήματος εδώ είναι, υπό κάποιαν έννοιαν, αντίστροφη της διαδικασίας που αναλύεται στο έγγραφο Orthodiagonal_Diagonals.html .
Μερικές βασικές ιδιότητες γιά αυτό το είδος τετραπλεύρων εξετάζονται στο έγγραφο Orthodiagonal.html .

Δείτε ακόμη

Orthodiagonal.html
Orthodiagonal_Diagonals.html

Επιστροφή στο Γεωμετρικόν

http://users.math.uoc.gr/~pamfilos/