ProjectiveCoordinates

1. Προβολικές συντεταγμένες

Εδώ εργάζομαι στο κλασικό μοντέλο προβολικού επιπέδου, του οποίου τα σημεία είναι κλασεις X= [x] = [x₁, x₂, x₃] διανυσμάτων του R³ με απροσδιοριστία πολ/κής σταθεράς. Ένα σύστημα προβολικών συντεταγμένων προκύπτει από μιά προβολική βάση, που είναι ένα σύστημα σημείων {A, B, C, D} που παριστάνονται από αντίστοιχα διανύσματα (κλάσεις) {[a], [b], [c], [d]} του R³, έτσι ώστε
(i) τα {a,b,c} να αποτελούν βάση του R³ και
(ii) να ισχύει d = a + b + c.
Μιά τέτοια προβολική βάση ορίζει ένα ομογενές σύστημα συντεταγμένων και γράφουμε X = u[a] + v[b] + w[c], όπου τα {u,v,w} έχουν απροσδιοριστία πολ/κής σταθεράς, και προκύπτουν από την αντίστοιχη παράσταση της κλάσης [x] = X, μέσω των βασικών διανυσμάτων: x = ua + vb + wc.
Γράφουμε X = uA + vB + wC και ονομάζουμε τα {u,v,w} προβολικές συντεταγμένες του X ως προς την προβολική βάση {A,B,C,D}.
Ειδικά, τα σημεία {A,B,C,D} έχουν αντίστοιχα συντεταγμένες {(1,0,0), (0,1,0), (0,0,1), (1,1,1)}.
Τα {A,B,C} λέγονται συχνά βασικά σημεία του προβολικού συστήματος συντεταγμένων. Το D θα μπορούσε να λέγεται συντονιστής του συστήματος.
Ένα χαρακτηριστικό παράδειγμα προβολικής βάσης είναι το σύστημα βαρυκεντρικών συντεταγμένων που ορίζεται μέσω ενός τριγώνου ABC. Σε αυτό το σύστημα το D είναι το κέντρο βάρους του ABC.

2. Κωνικές διά 4 σημείων

Προβολικά συστήματα συστήματα συντεταγμένων χρησιμοποιούνται γιά την παράσταση αλγεβρικών καμπυλών. Ειδικά, ευθείες παρίστανται με ομογενείες εξισώσεις βαθμού 1: ax₁ + bx₂ + cx₃ = 0, και κωνικές με ομογενείς εξισώσεις βαθμού 2:
ax₁² + bx₂² + cx₃² + 2dx₁x₂ + 2ex₂x₃ + 2fx₃x₁ = 0.

Εάν η κωνική διέρχεται από τα βασικά σημεία του συστήματος, τότε τα σημεία {(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)} πρέπει να ικανοποιούν την εξίσωση. Τούτο συνεπάγεται a = b = c = 0, άρα η εξίσωση παίρνει την μορφή
dx₁x₂ + ex₂x₃ + fx₃x₁ = 0.
Εάν επιπλέον η κωνική διέρχεται και από το τέταρτο σημείο D που ορίζει το σύστημα συντεταγμένων, τότε οι συντελεστές πρέπει να πληρούν την d+e+f = 0.

Αντικαθιστώντας την f = -(d+e) στην εξίσωση βρίσκουμε ότι η κωνική θα παριστάνεται υπό την μορφή:
dx₁(x₂ - x₃) + ex₃(x₂ - x₁) = 0.
Τούτο σημαίνει ότι κάθε κωνική που διέρχεται από τα τέσσαρα αυτά σημεία είναι γραμμικός συνδυασμός των δύο εκφυλισμένων κωνικών: x₁(x₂ - x₃) = 0, και x₃(x₂ - x₁) = 0. Η πρώτη παριστάνει το γινόμενο δύο ευθειών: BC (x₁ = 0) και AD (x₂ - x₃ = 0). Η δεύτερη το γινόμενο των ευθειών: AB(x₃ = 0) και CD(x₂ - x₁ = 0).
Σημείωσε ότι τα (d,e) ορίζονται με απροσδιοριστία πολ/κής σταθεράς, ορίζοντας έτσι μιά ολόκληρη οικογένεια κωνικών. Τούτο σημαίνει ότι ένα πέμπτο σημείο E ορίζει μονοσήμαντα μιά κωνική διερχόμενη από τα πέντε σημεία {A,B,C,D,E}.

3. Δισεφαπτόμενες κωνικές

Ένα άλλο ενδιαφέρον σύστημα κωνικών είναι αυτων που διέρχονται από δύο σημεία B, C και έχουν σε αυτά εφαπτόμενες τεμνόμενες σε σημείο A.

Επιλέγοντας το σύστημα συντεταγμένων {A,B,C,D} όπως στο σχήμα, με D επί της κωνικής, έχουμε: 1) B, C περιέχονται στην κωνική ==> b = c = 0.
2) {AC, AB} εφαπτόμενες αντίστοιχα στα {C, B} ==> d = 0 αντίστοιχα e = 0 (δες σημείωση παρακάτω).
Άρα η κωνική ανάγεται περιγράφεται από εξίσωση της μορφής ax₁² + fx₂x₃ = 0.
Αυτό φανερώνει ότι κάθε κωνική με τις προηγούμενες ιδιότητες ανήκει στην (δισεφαπτόμενη) οικογένεια κωνικών που παράγεται από τις εξής δύο εκφυλισμένες κωνικές:
(i) Η πρώτη είναι το γινόμενο των ευθειών {AB, AC} (περιγράφεται από την εξίσωση x₂x₃ = 0 ) και
(ii) Η δεύτερη είναι η διπλή ευθεία BC (περιγράφεται από την εξίσωση x₁² = 0).
Ειδικά, εάν το D είναι επί της κωνικής, τότε a + f = 0, και η κωνική παριστάνεται από την εξίσωση:
x₁² = x₂x₃.
Αυτό δείχνει ότι στο προβολικό επίπεδο όλες οι μη-εκφυλισμένες κωνικές είναι ισοδύναμες. Τούτο διότι γιά κάθε τέτοια κωνική μπορούμε να βρούμε ένα σύστημα συντεταγμένων όπως στο προηγούμενο.
Έχοντας από ένα τέτοιο σύστημα γιά κάθε μία από τις δύο κωνικές, μπορούμε κατόπιν να ορίσουμε μιά προβολικότητα που αντιστοιχεί τα δύο συστήματα. Η προβολικότητα αυτή απεικονίζει τότε και την μία κωνική πάνω στην άλλη.

4. Αυτοπολικό σύστημα ως προς κωνική

Μιά άλλη ενδιαφέρουσα περίπτωση είναι αυτή μιάς κωνικής που αναφέρεται σε ένα αυτοπολικό τρίγωνο αναφοράς ABC. Αυτό σημαίνει ότι κάθε κορυφή του τριγώνου είναι ο πόλος της απέναντι πλευράς ως προς την κωνική.

Παίρνοντας ως προβολική βάση τα σημεία {A,B,C,D} ως εις το σχήμα (δες Προβολική βάση ), η πολική του A ούσα η BC, συνεπάγεται ότι d = f = 0. Ανάλογα επειδή η πολική του B είναι η AC έχουμε d = e = 0. Έτσι η κωνική παίρνει την μορφή ax₁² + bx₂² + cx₃² = 0.

Σημείωση Το επιχείρημα γιά τον υπολογισμό των εφαπτομένων εδώ στηρίζεται στη παράσταση της κωνικής με πίνακα:

Μέσω της οποίας η πολική του σημείου (u₁,u₂,u₃) δίδεται από την εξίσωση:

Ανάλογα εάν BC (x₁ = 0) είναι η πολική του A (1,0,0) τότε ax₁+dx₂+fx₃=0, και πρέπει να ισχύει d = f = 0. Το επιχείρημα αυτό εφαρμόσθηκε και στο (3) στην περίπτωση της δισεφαπτόμενης κωνικής, γιά την αναγωγή της στην μορφή x₁² = x₂x₃.

Δείτε ακόμη

Προβολική βάση
Προβολικό επίπεδο
Προβολική ευθεία

Βιβλιογραφία

Baker, H. F. Plane Geometry New York, Chelsea Publishing Company 1971.

Επιστροφή στο Γεωμετρικόν

http://users.math.uoc.gr/~pamfilos/