ProjectiveLine

1. Προβολική ευθεία, δέσμη ευθειών

Το κλασικό μοντέλο προβολικής ευθείας έχει ως στοιχεία (σημεία) τις κλάσεις ισοδυναμίας X= [x] = [x₁, x₂] σημείων του R²-{(0,0)} που διαφόρουν κατά μη-μηδενική πολλαπλασιαστική σταθερά.
Γιά κάθε μη-μηδενικό διάνυσμα του R², το A=[a] συμβολίζει σημείο της προβολικής ευθείας και το a λέγεται ένας αντιπρόσωπος του σημείου. Δύο αντιπρόσωποι {a, a'} ορίζουν το ίδιο (προβολικό) σημείο τότε και μόνον όταν a' = ka, με μη-μηδενικό πραγματικό αριθμό k.

Ένα άλλο μοντέλο προβολικής ευθείας είναι αυτό της ευκλείδειας ευθείας στο οποίο προσθέτουμε ένα σημείο που ονομάζομε σημείο στο άπειρο της ευθείας. Η προσθήκη αυτού του σημείου λέγεται προβολικοποίηση της ευθείας. Η προβολικοποίηση περιγράφεται με το επόμενο σχήμα:

Θεώρησε ως ευκλείδεια ευθεία την περιγραφόμενη με την εξίσωση (σε καρτεσιανές συντεταγμένες) L: y=1, που είναι παράλληλος του x-άξονα.
Κάθε προβολικό σημείο που παρίσταται με [x₁,x₂], με μη-μηδενικό x₂, τέμνει την L στο σημείο (t,1) με t=x₁/x₂. Η ευθεία η παράλληλος της L, που είναι βέβαια ο x-άξονας και ορίζει το αντίστοιχο προβολικό σημείο [x₁,0], προσθέτει το απαραίτητο σημείο στο άπειρο της L, θεωρούμενο σαν τομή (στο άπειρο) των δύο παραλλήλων ευθειών.

Το σύνολο των ευθειών A* όλων των ευκλειδείων ευθειών του επιπέδου που διέρχονται απο το A γενικεύει το τυπικό μοντέλο της προβολικής ευθείας. Συχνά το A* ονομάζεται δέσμη των ευθειών διά του A.

2. Ομογενείς προβολικές συντεταγμένες

Τα ζεύγη (x₁,x₂) που ορίζουν το σημείο [x₁,x₂] της προβολικής ευθείας λέγονται ομογενείς προβολικές συντεταγμένες του σημείου. Ορίζονται με απροσδιοριστία μιάς μη-μηδενικής σταθεράς, αφού το (kx₁,kx₂) ορίζει το ίδιο (προβολικό) σημείο. Επίσης παραμετρίζουν όλα τα σημεία της προβολικής ευθείας εκτός ενός.
Προφανώς ένα άλλο σύστημα συντεταγμένων (x'₁,x'₂) του R² (με την ίδια αρχή) σχετίζεται με το (x₁,x₂) μέσω ενός αντιστρέψιμου πίνακα:

Γιά τα αντίστοιχα πηλίκα t'=x'₁/x'₂, t=x₁/x₂ ορίζεται μιά ομογραφική σχέση:

3. Προβολική βάση

Τρία σημεία {A,B,C} της προβολικής ευθείας ορίζουν μιά προβολική βάση και μέσω αυτής ένα αντίστοιχο σύστημα ομογενών συντεταγμένων. Στο κλασικό μοντέλο της προβολικής ευθείας η δουλεία ανάγεται στο R².

Τα (προβολικά) σημεία ορίζουν τρεις ευθείες {a,b,c}: A=[a], B=[b], C=[c]. Τα διανύσματα επιλέγονται έτσι ώστε c=a+b. Η συνθήκη αυτή ορίζει τα {a,b,c} με αοριστία μιάς μη-μηδενικής σταθεράς. Το ομογενές σύστημα συντεταγμένων προκύπτει από την βάση {a,b} γράφοντας κάθε σημείο D της ευθείας ως προς αυτήν την βάση: D=[d], όπου d=d₁a+d₂b. Στο D αντιστοιχούμε το (d₁,d₂).
Προφανώς σε αυτό το σύστημα τα σημεία {A,B,C} έχουν αντίστοιχα συντεταγμένες {(1,0), (0,1), (1,1)}.
Το C λέγεται συντονιστής ή μοναδιαίο της προβολικής βάσης {A,B,C}. Χρησιμοποιείται γιά την στάθμιση του συστήματος. Η στάθμιση γίνεται προβάλλοντας κάποιο c το οποίο παράγει το C=[c] παράλληλα προς τις άλλες ευθείες που ορίζονται από τα {A,B}.

4. Προβολικότητες της προβολικής ευθείας

Μιά απεικόνιση F: M --> N μεταξύ δύο προβολικών ευθειών {M,N} λέγεται προβολικότητα, όταν η παράστασή της σε ομογενείς συντεταγμένες είναι μιά γραμμική απεικόνιση.

Τούτο σημαίνει ότι διαλέγοντας προβολικές βάσεις {A,B,C} στην M και {A',B',C'} στην N και χρησιμοποιώντας τα αντίστοιχα συστήματα συντεταγμένων (x,y) και (x',y'), η απεικόνιση Q=F(P) περιγράφεται μέσω αντιστρεψίμου πίνακα:

Επειδή η αλλαγή ομογενών συντεταγμένων σε κάθε προβολική ευθεία γίνεται μέσω αντιστρεψίμων πινάκων, μιά τέτοια αλλαγή αντικαθιστά τον πίνακα U με έναν της μορφής U'=XUY, όπου {X,Y} είναι επίσης αντιστρέψιμοι πίνακες σχετιζόμενοι με τις αλλαγές συντεταγμένων στις ευθείες M και N.

5. Προοπτικότητες προβολικών ευθειών

Το πιό διάσημο παράδειγμα προβολικότητας είναι η προοπτικότητα προβολικών ευθειών κατά την οποία σημεία δύο προβολικών ευθειών {M,N} απεικονίζονται Q=F(P), έτσι ώστε η ευθεία PQ να διέρχεται διά σταθερού σημείου R, που ονομάζεται κέντρο της προοπτικότητας.

Η εικόνα περιγράφει την απεικόνιση. Γιά να επαληθεύσουμε τον ορισμό παίρνουμε το R ως αρχή των αξόνων και ως προβολικές βάσεις στις δύο ευθείες τα {A,B,C} στην M και {A'=F(A),B'=F(B),C'=F(C)} στην N. ως προς αυτές τις βάσεις η F περιγράφεται με τον την ταυτοτική (x'(Q),y'(Q)) = (x(P),y(P)), που είναι η απλούστερη γραμμική απεικόνιση.
Το Ορθογώνιας υπερβολής σχέση εξετάζει την περιγραφή μιάς τέτοιας απεικόνισης σε πιό γενικά συστήματα ομογενών συντεταγμένων γιά τις δύο ευθείες M και N.

6. Διπλός λόγος

Γιά τον ορισμό του διπλού (ή αναρμονικού λόγου) δύο σημείων {P,Q,U,V} μιάς προβολικής ευθείας χρησιμοποιούμε ένα ομογενές σύστημα συντεταγμένων {(x₁(P),y₁(P)), (x₂(Q),y₂(Q)), (x₃(U),y₃(U)), (x₄(V),y₄(V))}. Κατόπιν ορίζουμε τα πηλίκα {p=x₁/y₁, q=x₂/y₂, u=x₃/y₃, v=x₄/y₄} και τελικά τον διπλό λόγο

Το σημαντικό είναι ότι παρόλο που χρησιμοποιούμε ομογενείς συντεταγμένες, ο αριθμός που ορίζουμε δεν εξαρτάται από το ειδικό σύστημα που χρησιμοποιούμε. Πράγματι, χρησιμοποιώντας ένα άλλο σύστημα ομογενών συντεταγμένων, το {p,q,u,v} απεικονίζεται στο {p',q',u',v'} έτσι ώστε:

Με άλλα λόγια τα {p,q,u,v} και {p',q',u',v'} συνδέονται μέσω μιάς ομογραφικής σχέσης και το κλειδί εδώ είναι ότι μιά τέτοια σχέση διατηρεί τον διπλό λόγο (τούτο χρειάζεται έναν μικρό υπολογισμό) δηλαδή:

Παρατήρηση-1 Η ίδια αιτία, δηλαδή η διατήρηση του διπλού λόγου από ομογραφικές σχέσεις συνεπάγεται ότι οι προβολικότητες ευθειών διατηρούν τον διπλό λόγο. Τούτο σημαίνει ότι γιά κάθε προβολικότητα F : M --> N μεταξύ δύο προβολικών ευθειών και κάθε τετράδα σημείων της M σε γενική θέση (δη. χωρίς συμπτώσεις) {P,Q,U,V} και τις εικόνες τους {P'=F(P),Q'=F(Q),U'=F(U),V'=F(V)} έχουμε:

Παρατήρηση-2 Παίρνοντας τα {P,Q} σαν τα δύο πρώτα σημεία μιάς προβολικής βάσης, ως προς την οποια αυτά τα σημεία έχουν συντεταγμένες {(1,0) , (0,1)}, έχουμε ότι p=inf (inf συμβολίζει το "άπειρο") και q=0, και ο διπλός λόγος γίνεται:

Όπου (u₁,u₂) και (v₁,v₂) είναι αντίστοιχα οι συντεταγμένες των {U,V} ως προς αυτή την βάση.

Η πανταχού παρούσα ομογραφική σχέση εξετάζεται λεπτομερέστερα στο Ομογραφική σχέση .

7. Διπλός λόγος με μετρήσεις μηκών

Όπως είδαμε, ο διπλός λόγος είναι ανεξάρτητος κάθε έννοιας μήκους. Ωστόσο γιά ευθείες του ευκλειδείου επιπέδου μπορούμε να υπολογίσουμε τον διπλό λόγο με διάφορες μετρήσεις που σχετίζονται με τα τέσσαρα σημεία {A,B,C,D} της ευθείας. Το επόμενο σχήμα εξηγεί τις σχέσεις μεταξύ του αρχικού μη-μετρικού ορισμού του διπλού λόγου και την έκφρασή του μέσω μετρήσεων μηκών.

Το σχήμα δείχνει πως οι συντεταγμένες των σημείων {[a],[b],[c],[x]} εξαρτώνται από τα ειδικά διανύσματα {a,b,c,x} που παριστάνουν αυτά τα σημεία. Το διάνυσμα x αναλύεται ως προς την βάση {a',b'}, η οποία με την σειρά της προσδιορίζεται από τις (παράλληλες) προβολές {a',b'} του c πάνω στα {a,b} και όχι από τα ίδια τα {a,b}. Αυτό δείχνει πως το διάνυσμα συντονιστής c σταθμίζει τα διανύσματα της βάσης (οδηγώντας στην νέα βάση {a',b'}).
Έτσι γράφουμε, x = x_a'a'+x_b'b', και συμβολικά: [x] = x_a'[a] + x_b'[b], ή X = x_a'A+x_b'B.
Το ζεύγος (x_a',x_b') δίδει τις προβολικές συντεταγμένες του X ως προς την προβολική βάση (της ευθείας) που ορίζεται από τα τρία σημεία {A=[a']=[a], B=[b']=[b], C=[c]}.
Ο αριθμός d = x_a'/x_b' ταυτίζεται με τον διπλό λόγο (A,B,C,X)=(x_a/x_b):(c_a/c_b), όπου οι συντεταγμένες (x_a,x_b) και (c_a,c_b) λαμβάνονται ως προς {a,b} ή οποιοδήποτε άλλο σύστημα {ra,sb} μη-μηδενικών πολλαπλασίων του {a,b}.

Παρατήρηση-1 Ο λόγος x_a/x_b εκφράζεται και με τις προσημασμένες αποστάσεις d(x,a)/d(x,b). Η σχέση προκύπτει εφαρμόζοντας το θεώρημα ημιτόνου στα τρίγωνα ax_ax και xx_bb (και τα δύο όμοια του aOb), κατά το οποίο, d(x,a)=px_b και d(x,b)=qx_a, όπου {p,q} εξαρτώνται από το σταθερό τρίγωνο aOb. Έτσι:
d(x,a)/d(x,b) = (x_b/x_a)(p/q).

Παρατήρηση-2 Οι αποστάσεις {d(x,a), d(x,b)} μπορούν να εκφρασθούν μέσω των αποστάσεων {d(X,[a]),d(X,[b])} του X από τις ευθείες {a,b} αντιστοιχα. Πράγματι, d(X,[a])=r*d(x,a), d(X,[b])=s*d(x,b), όπου τα {r,s} συμβολίζουν τα ημίτονα στις γωνίες {a,b}. Έτσι
d(X,[a]):d(X,[b]) = (d(x,a)/d(x,b))*(r/s) = (x_b/x_a)*(p/q)*(r/s).
Συνολικά έχουμε τις επόμενες δυνατότητες γιά τον υπολογισμό του διπλού λόγου:

Η τελευταία έκφραση προκύπτει από την (5) διαιρώντας και τα δύο μέρη του λόγου d(X,[b])/d(X,[a]) με την απόσταση d(O,X) και τα δύο μέρη του λόγου d(C,[b])/d(C,[a]) με την απόσταση d(O,C). Στις δύο τελευταίες εκφράσεις τα σημεία {A,B,C,X} ταυτίζονται με σημεία της ευκλείδειας ευθείας-φορέα τους.

8. Διπλός λόγος και εξισώσεις ευθειών

Υπόθεσε ότι οι ευθείες OA, OB δίδονται αντίστοιχα από εξισώσεις {f(x,y)=0, g(x,y)=0}. Όπου f(x,y)=px+qy+r και g(x,y)=p'x+q'y+r'. Γιά κάθε άλλο σημείο του επιπέδου P=(p₁,p₂) έστω f(P) ο αριθμός f(p₁,p₂), που είναι ένα πολλαπλάσιο της απόστασης του P από την ευθεία f(x,y)=0. Έτσι, g(X)/f(X) = k*(d(X,[b])/d(X,[a])), όπου k είναι σταθερά ανεξάρτητη του X. Αυτό οδηγεί σε μιά ακόμη απλή έκφραση του διπλού λόγου μέσω των συναρτήσεων {f,g} που περιγράφουν τις ευθείες {OA,OB}:

Δείτε ακόμη

Ομογραφική σχέση
Ορθογώνιας υπερβολής σχέση
Προβολική βάση

Επιστροφή στο Γεωμετρικόν

http://users.math.uoc.gr/~pamfilos/