ProjectiveBase

1. Προβολική βάση

Εδώ συζητώ το κλασικό μοντέλο προβολικού επιπέδου, τα σημεία του οποίου παρίστανται με κλάσεις διανυσμάτων X= [x] = [x₁, x₂, x₃] του R³ ως προς την σχέση μη-μηδενικού πολλαπλασίου.
Μιά προβολική βάση συνίσταται από τέσσαρα σημεία {A, B, C, D} του προβολικού επιπέδου σε γενική θέση.

Λέμε ότι τα {A,B,C,D} είναι σε γενική θέση όταν τα σημεία παριστάνονται με διανύσματα {[a], [b], [c], [d]} του R³, έτσι ώστε κάθε τριάδα εξ αυτών να σχηματίζει βάση του R³.
Το τέταρτο σημείο D, που αντιστοιχεί σε διάνυσμα d = k₁a + k₂b + k₃c (*), λέγεται συντονιστής ή μοναδιαίο σημείο της βάσης. Χρησιμοποιείται γιά να οριστικοποιηθούν τα μήκη των {a, b, c} (συχνά λέω να "σταθμίσουν") ως προς τα οποία ορίζουμε συντεταγμένες (παρακάτω). Οι ευθείες {[a],[b],[c]} ορίζουν τις κατευθύνσεις και το (*) χρησιμοποιείται γιά να ορισθούν (με απροσδιοριστία πολ/κής σταθεράς) τα τρία διανύσματα μέσω (παράλληλης) προβολής του d πάνω σε αυτές τις ευθείες.

[1] Κάθε προβολική βάση ορίζει ένα αντίστοιχο σύστημα συντεταγμένων και γράφουμε X = uA + vB + wC, όπου τα {u,v,w} έχουν απροσδιοριστία πολ/κής σταθεράς, και προκύπτουν από την αντίστοιχη παράσταση του διανύσματος [x] = X, μέσω των βασικών διανυσμάτων: x = u(k₁a) + v(k₂b) + w(k₃c). Αυτά τα συστήματα συντεταγμένων εξετάζονται στο Προβολικές συντεταγμένες .
[2] Ειδικά, τα σημεία {A,B,C,D} έχουν αντίστοιχα συντεταγμένες {(1,0,0), (0,1,0), (0,0,1), (1,1,1)}.

2. Προβολικές ευθείες

Δύο διαφορετικά σημεία {A,B} του προβολικού επιπέδου ορίζουν μία προβολική ευθεία αποτελούμενη από όλα τα σημεία X τα οποία μπορούν να γραφούν ως X = pA + qB, γιά κάποιους αριθμούς {p,q}.
Αν ένα σημείο X εκφράζεται με δύο τρόπους: X = pA + qB και X = p'A' + q'B', τούτο σημαίνει ότι ανήκει και στις δύο ευθείες που ορίζονται από τα ζεύγη σημείων {A,B} και {A',B'}, άρα συμπίπτει με την τομή των δύο ευθειών.
Στο κλασικό μοντέλο του προβολικού επιπέδου, που περιγράφηκε παραπάνω, οι προβολικές ευθείες έχουν ως σημεία όλες τις ευθείες που διέρχονται από την αρχή και περιέχονται σε ένα ορισμένο επίπεδο διά της αρχής. Ένα τέτοιο επίπεδο περιγράφεται με μία εξίσωση:
px + qy + rz = 0.
Δοθέντων δύο σημείων {A=[a], B=[b]} οι συντελεστές της αντίστοιχης ευθείας (p,q,r) είναι οι συνιστώσες του εξωτερικού γινομένου axb.
Αντίστροφα, δοθείσης της εξισώσεως του επιπέδου και επιλέγοντας δύο ανεξάρτητα διανύσματα {a,b} που την ικανοποιούν (περιεχόμενα στο επίπεδο), όλα τα άλλα διανύσματα είναι συνδυασμοί c = ua + vb αυτών των δύο διανυσμάτων.
Η δομή των προβολικών ευθειών ανεξάρτητα από το περιβάλλον προβολικό επίπεδο εξετάζεται στο Προβολική ευθεία .

3. Αρμονικότητα σε προβολικές συντεταγμένες

Θεώρησε το πλήρες τετράπλευρο του επομένου σχήματος, όπου {A,B,C,D} είναι προβολική βάση. Τότε τα σημεία {P, Q} είναι αρμονικά συζυγή των {A, B} και οι συντεταγμένες τους είναι P = A + B και Q = A - B.

Επειδή το P είναι στην ευθεία CD, γράφεται P = cC - dD = cC - d(A+B+C) = (c-d)C - dA - dB. Επειδή το P είναι και στην ευθεία AB πρέπει το (c-d) = 0, άρα P = A+B (συντεταγμένες ορίζονται με απροσδιοριστία πολ/κής σταθεράς!).
Ανάλογα σκεπτόμενοι γιά τα U καιV, έχουμε ότι U = C + B και V = C + A. Άρα U-V = A - B = Q'. Όμως το Q' όντας ταυτόχρονα συνδυασμός των {U,V} και {A,B}, πρέπει να συμπίπτει με την τομή των αντιστοίχων ευθειών, δηλαδή Q' = Q.

Γενικώτερα το αρμονικό συζυγές σημείου P = sA+tB είναι το Q = sA-tB.
Γιά την απόδειξη θεώρησε σημείο D της ευθείας CP, αυτή την φορά με συντεταγμένες D=C+dP=C+d(sA+tB), και συνεπώς D-sdA = C+dtB. Σε αυτήν την εξίσωση η έκφραση αριστερά είναι ένα σημείο της ευθείας DA και η δεξιά είναι ένα σημείο της ευθείας CB, άρα και οι δύο πλευρές ορίζουν σημείο το σημείο τομής U αυτών των ευθειών: U=D-sdA=C+dtB. Ανάλογα D-tdB=C+dsA είναι η παράσταση του σημείου τομής V = D-tdB=C+dsA. Από αυτές έχουμε ότι U-V=(D-sdA)-(D-tdB)=tdB-sdA. Και πάλι το U-V είναι σημείο της ευθείας UV ενώ (tdB-sdA) είναι σημείο της ευθείας AB, άρα συμπίπτει με το Q. Έτσι το, Q=d(tB-sA), που είναι ισοδύναμο με την Q = sA-tB.

Σημείωση Σε αυτήν την παράγραφο υπέθεσα ότι τα P, Q είναι αρμονικά συζυγή των A,B (δες Αρμονική διαίρεση ) και συμπέρανα την παράστασή τους σε συντεταγμένες. Μπορεί κανείς και αντίστροφα να ορίσει τον διπλό λόγο μέσω συντεταγμένων, όπως το κάνω στην επόμενη παράγραφο.

4. Διπλός λόγος οριζόμενος μέσω συντεταγμένων

Θεώρησε την ευθεία AB και σημείο C αυτής, C = xA + yB. Θα μπορούσαμε να ορίσουμε το πηλίκον x/y όπως στην ευκλείδεια γεωμετρία. Τούτο είναι άστοχο ωστόσο διότι το (x,y) εξαρτάται από τα διανύσματα που παριστάνουν τα σημεία A=[a] και B=[b].
Περνόντας στον διπλό λόγο δύο σημείων C = xA+yB και D = uA+vB ως προς {A,B} και ορίζοντας τον να είναι ίσος με (x/y):(u/v), βρίσκουμε εντούτοις κάτι αναλλοίωτο. Πράγματι, ένας εύκολος υπολογισμός δείχνει ότι αν αλλάξουμε την παράσταση των σημείων με διανύσματα από A[a], B[b], σε A[a'], B[b'], και χρησιμοποιήσουμε τον ίδιο ορισμό: C = x'A+y'B, D = u'A+v'B, τότε ο μετασχηματισμός από τα (u,v) στα (u',v') δίδεται από μιά αντιστρέψιμη σχέση της μορφής x'=rx, y'=sy (εάν a'=ra, b'=sb), έτσι ώστε x'/y' = (x/y)(r/s), οπότε ο διπλός λόγος (x/y):(u/v) είναι ο ίδιος γιά τις δύο παραστάσεις των σημείων A, B. Έτσι, εκφράζει μιά γεωμετρική σχέση των τεσσάρων σημείων {A,B,C,D}, ανεξάρτητη της παράστασης των σημείων μέσω συντεταγμένων. Τούτο γίνεται ακριβέστερο στο Προβολική ευθεία .
Με αυτό τον ορισμό του διπλού λόγου, τα σημεία {C,D} λέγονται αρμονικά συζυγή των {A,B}, όταν ακριβώς ο διπλός λόγος (x/y):(u/v) = -1, που συνεπάγεται x/y = -u/v. Έτσι βρίσκουμε ξανά το αποτέλεσμα του (3), ότι το αρμονικό συζυγές του C=xA+yB ως προς (A,B) είναι D=xA-yB.

5. Το θεώρημα Desargues σε προβολικές συντεταγμένες

Δύο σημειακά-προοπτικά τρίγωνα ABC, A'B'C' είναι επίσης ευθειακά-προοπτικά και αντίστροφα.

[1] Υπόθεσε ότι ABC, A'B'C' είναι σημειακά-προοπτικά, δηλαδή οι ευθείες {AA', BB', CC'} συντρέχουν σε κοινό σημείο D. Τότε το D γράφεται: D = uA + u'A' = vB + v'B' = wC + w'C'. Γράφουμε τις εξισώσεις στην μορφή:
(i) uA - vB = v'B' - u'A', (ii) wC-uA = u'A' - w'C', και (iii) vB - wC = w'C'-v'B'.
Η εξίσωση (i) παριστάνει το σημείο τομής C* των ευθειών AB και A'B'. Ανάλογα και οι (ii) και (iii) παριστάνουν τα σημεία τομής B* και A* των ζευγών ευθειών {AC, A'C'} και {BC, B'C'}.
Τα τρία σημεία ικανοποιούν C* + A* + B* = (uA-vB) + (vB-wC) + (wC-uA) = 0 άρα περιέχονται σε ευθεία.

[2] Γιά το αντίστροφο, υπόθεσε ότι τα {A*, B*, C*} είναι συγγραμμικά, και ως προς κατάλληλη προβολική βάση, A* = B*+C*. Μπορούμε να υποθέσουμε ότι C* = uA - vB = v'B' - u'A' και B* = wC - u₀A = u₀'A' - w'C' ==> A*=B*+C*=uA-vB+wC-u₀A, και επειδή το A* είναι επί της BC πρέπει (u-u₀)=0. Ανάλογα u'-u'₀ = 0 και συνεπώς τα σημεία τομής των ευθειών {AA', BB', CC'} συμπίπτουν.
Δες το Θεώρημα του Desargues γιά μια στοιχειώδη απόδειξη.

6. Τριγραμμική πολική σε προβολικές συντεταγμένες

Θεώρησε τρίγωνο ABC και σημείο D μη περιεχόμενο στις πλευρές του τριγώνου. Έστω ότι {A',B',C'} είναι οι τομές των ζευγών ευθειών {(AD,BC), (BD,CA), (CD,AB)} αντίστοιχα. Τότε τα σημεία τομής των ζευγών ευθειών {C''=(AB,A'B'), A''=(BC,B'C'), B''=(CA,C'A')} περιέχονται σε ευθεία. Αυτή είναι η τριγραμμική πολική του σημείου D ως προς το τρίγωνο ( Τριγραμμική πολική ).

Από όσα είδαμε στις προηγούμενες εφαρμογές, παίρνοντας προβολική βάση την {A,B,C,D}, τα σημεία {A',B',C'} παριστάνονται αντίστοιχα με {B+C, C+A, A+B}, και τα αρμονικά συζυγή αυτών με {A''=B-C,B''=C-A,C''=A-B}. Προσθέτοντάς τα βρίσκουμε την A''+B''+C''=0, που δείχνει την συγγραμμικότητα των τριών σημείων.

Οι εφαρμογές δείχνουν ότι οι σχέσεις σύμπτωσης εκφράζονται και αποδεικνύονται εύκολα στο πλαίσιο της προβολικής γεωμετρίας, με την βοήθεια των προβολικών βάσεων και αντιστοίχων συστημάτων συντεταγμένων.

Δείτε ακόμη

Αρμονική διαίρεση
Θεώρημα του Desargues
Τριγραμμική πολική
Προβολικό επίπεδο
Προβολική ευθεία
Προβολικές συντεταγμένες
Προβολικοποίηση

Βιβλιoγραφία

Baker, H. F. Plane Geometry New York, Chelsea Publishing Company 1971.
Berger, M Geometry II Paris, Springer Verlag, 1987, p. 172.

Επιστροφή στο Γεωμετρικόν

http://users.math.uoc.gr/~pamfilos/