SimsonProperty

1. Μία παράλληλος της ευθείας Simson-Wallace

Έστω το τρίγωνο t=ABC και D σημείου του περικύκλου του. Οι προβολές {E,F,G} του D επί των πλευρών του (t) ορίζουν την ευθεία Simson-Wallace W(D) (δες Ευθείες Simson-Wallace ). Προέκτεινε την DE και όρισε το σημείο τομής της H με τον περίκυκλο. Τότε η CH είναι παράλλη προς την W(D).

Η απόδειξη έπεται από το ότι τα τετράπλευρα DFEB και DCHB είναι κυκλικά. Άρα οι γωνία(CHD) = γωνία(CBD) = γωνία(HEF). Που δείχνει ότι οι EF και CH είναι παράλληλοι.
Αυτό έχει μιά ενδιαφέρουσα εφαρμογή που εξετάζεται στο Ιδιότητα ευθείας Simson (ΙΙ) .

Παρατήρηση Μιά άλλη εφαρμογή είναι η εύρεση σημείου D, έτσι ώστε η αντίστοιχη ευθεία W(D) να έχει δοθήσα κατεύθυνση:
Πρός τούτο φέρε από το C ευθεία CH παράλληλο προς την δοθείσα κατεύθυνση και προσδιόρισε το H. Κατόπιν από το H φέρε κάθετο στην απέναντι πλευρά (AB) τέμνουσα τον κύκλο στο δεύτερο σημείο D. Αυτό είναι το ζητούμενο σημείο.
Φυσικά στην παραπάνω συζήτηση το ζεύγος κορυφής+απέναντι πλευράς (C, AB) μπορεί να αντικατασταθεί από ένα οποιοδήποτε άλλο παρόμοιο.

2. Σχετικό παραλληλόγραμμο

Από σημείο P του περικύκλου τριγώνου ABC φέρε ευθεία PDF κάθετη στην ευθεία BC, όπου F το δέυτερο σημείο τομής της με τον περίκυκλο. Προέκτεινε το ύψος HA κατά AG = DF, όπου H το ορθόκεντρο. Τότε η GP = HD και το HDPG είναι παραλληλόγραμμο.

Η απόδειξη έπεται από την ισότητα των τριγώνων DEF και GPA που είναι τετριμμένη και το γεγονός ότι το E είναι συμμετρικό του H ως προς την ευθεία BC.

Παρατήρηση Καθώς κατά την προηγούμενη παράγραφο η DG είναι η ευθεία Simson του P, το μέσον M της PH είναι επί της ευθείας αυτής καθώς και επί του κύκλου του Euler του τριγώνου ABC. Το τελευταίο συμβαίνει διότι ο κύκλος αυτός είναι ομοθετικός του περικύκλου ως προς το ορθόκεντρο H με λόγο ομοιοθεσίας 1/2.

Η παρατήρηση αυτή δίνει ένα άλλο επιχείρημα γιά την απόδειξη της ιδιότητας της ευθείας Steiner που είναι παράλληλη της DG (δες Ευθεία του Steiner ).
Το επιχείρημα αυτό χρησιμοποιείται επίσης γιά την απόδειξη ιδιότητας του ορθοπόλου ευθείας (δες Ορθόπολος ).

3. Εφαρμογή

Έστω A'B'C' το τρίγωνο που προκύπτει από το τρίγωνο ABC προεκτείνοντας τα ύψη του μέχρι να τμήσουν τον περίκυκλο. Οι ευθείες Simson ως προς σημείο P του περικύκλου γιά τα δύο τρίγωνα τέμνονται κάθετα.

Χρησιμοποιώ την ιδιότητα του A'B'C' να είναι ομοθετικό του ορθικού τριγώνου ως προς το ορθόκεντρο Η του αρχικού τριγώνου και το ότι τα ύψη του αρχικού τριγώνου είναι διχοτόμοι του A'B'C'. Έστω {P₁, P₂} τα δεύτερα σημεία τομής των καθέτων από το P στις πλευρές των τριγώνων {BC, B'C'} αντίστοιχα. Κατά την πρώτη παράγραφο η κατεύθυνση της ευθείας Simson του P ως προς το τρίγωνο ABC είναι η του AP₁ και η κατεύθυνση της ευθείας Simson ως προς το τρίγωνο A'B'C' είναι αυτή του A'P₂.
Οι κατευθύνσεις όμως αυτών των δύο τμημάτων είναι κάθετες. Τούτο φαίνεται μεταφέροντας τις γωνίες από τα {P₁, P₂} στα {P, C} αντίστοιχα. Η γωνία των ευθειών {PP₂, CA} λόγω καθετότητας προς τις πλευρές ισούται με την γωνία C'P₁B που ισούται με την BP₁A' που ισούται με την BCA'.
Η γωνία των δύο ευθειών Simson είναι συνεπώς το άθροισμα των δύο οξείων γωνιών του ορθογωνίου τριγώνου PCP₀.

Παρατήρηση Καθώς το P κινήται επί του περικύκλου το P διαγράφει μιά ελλειπτική τροχιά. Αυτό όμως είναι αντικείμενο άλλου θέματος.

Δείτε ακόμη

Ευθείες Simson-Wallace
Ορθόπολος
Ευθεία του Steiner
Ιδιότητα ευθείας Simson (ΙΙ)

Επιστροφή στο Γεωμετρικόν

http://users.math.uoc.gr/~pamfilos/