Οι επόμενες ιδιότητες της συμμετροδιαμέσου αποτελούν συνέχεια των όσων αναφέρθηκαν στο Συμμετροδιάμεσος ευθεία (ΙΙ) . Ειδικώτερα δίδεται ένας χαρακτηρισμός του σημείου E του επομένου σχήματος, που είναι η εστία μιάς παραβολής του Artzt του τριγώνου (δες Παραβολές του Artzt ).
[1] Φέρε από το C παράλληλο CD της συμμετροδιαμέσου AJ καθώς και την ευθεία BD, τέμνουσα την συμμετροδιάμεσο στο σημείο E.
Τα τρίγωνα {EBA' , AED} είναι όμοια του ABC.
Πράγματι, το EBA' είναι όμοιο του EAD. Το τελευταίο έχει γωνία(EAD)=γωνία(ABC) και γωνία(ΑΕD)=angle(BAC), διότι το ADCA' είναι ισοσκελές τραπέζιο και γωνία(EAD)=γωνία(EA'C)=γωνία(ABC).
[2] Η προηγούμενη ιδιότητα ισχύει γιά κάθε σεβιανή AA', την παράλληλό της CD και την προκύπτουσα ανάλογη κατασκευή. Πουθενά στην απόδειξη δεν χρειάστηκε το ότι η AA' είναι συμμετροδιάμεσος.
Τώρα όμως θα χρειασθεί. Τα τρίγωνα EBA' και EA'C είναι επίσης όμοια.
Πράγματι, γωνία(EBA')=γωνία(EA'C) και αντίστοιχες πλευρές:
A'B/AC = A'A1/A'A2 = c/b, όπου {A1, A2} είναι οι προβολές του A' στις πλευρές του τριγώνου και χρησιμοποιούμε την χαρακτηριστική ιδιότητα της συμμετροδιαμέσου ευθείας(δες το [4] στο Συμμετροδιάμεσος ευθεία (ΙΙ) ). Από το [1] έχουμε επίσης EB/EA'=c/b. Τούτο αποδεικνύει την ομοιότητα των τριγώνων {EBA', EA'C} καθώς και τις επόμενες ιδιότητες.
[3] Το τρίγωνο DEC είναι ισοσκελές και τα τρίγωνα {ADE, A'CE} είναι ίσα.
[4] Το E είναι μέσον της AA' και AE2 = BE*ED = BE*EC.
[5] Η γωνία(BEC) = 2A και η ευθεία AE διχοτομέι την γωνία(BEC).
[6] Τα τρίγωνα BEA και AEC είναι επίσης όμοια. Ειδικά γωνία(ABE)=γωνία(EAC) και στρέφοντας το τρίγωνο ABE γύρω από το E έτσι ώστε το B να κινήται επί της AB παραμένοντας συνεχώς όμοιο του BEA, η κορυφή του A κινήται επί της ευθείας AC (δες Περιστροφή και ομοιοθεσία ).
![[alogo]](alogo.png){kind=small}
Συμμετροδιάμεσος ευθεία (ΙII) ![[0_0]](Symmedian_1_files/Symmedian_1_0_0_0.png)
![[0_1]](Symmedian_1_files/Symmedian_1_0_0_1.png)
![[1_0]](Symmedian_1_files/Symmedian_1_0_1_0.png)
![[1_1]](Symmedian_1_files/Symmedian_1_0_1_1.png)