[alogo] 1. Περιστρέφοντας όμοια τρίγωνα

Δίδεται τρίγωνο DEF, σημείο P και ευθεία e = XY. Το τρίγωνο ABC περιστρέφεται περί το A παραμένοντας όμοιο του DEF ενώ η κορυφή του B κινήται επί της ευθείας (e). Τότε η άλλη κορυφή του C κινήται επίσης επί σταθερής ευθείας (g) κεκλιμένης ως προς την (e) κατά την γωνία του τριγώνου στο A.

[0_0] [0_1] [0_2]

Η ιδέα κλειδί είναι η χρήση του περικύκλου του κινουμένου τριγώνου ABC. Ο κύκλος αυτός τέμνει την XY σε σημείο Κ που είναι σταθερό. Πράγματι γωνία(AKB)=γωνία(C) και γωνία(CKY)=γωνία(A). Άρα το Κ είναι αυτό γιά το οποίο (α) η γωνία της ΑK ως προς την (e) είναι αυτή της γωνίας C και (β) η κλίση της (g) ως προς την (e) ισούται με την γωνία στο A.
Μία κατασκευή της (g): Έστω H η προβολή του A στην e. Επί της AH κατασκεύασε τρίγωνο AHI όμοιο του DEF. Η g είναι η κάθετος της AI στο I.

Εναλλακτική κατασκευή: Κατασκεύασε το τρίγωνο ABC στην θέση κατά την οποία η BC ταυτίζεται με την ευθεία XY. Το C λαμβάνει τότε την θέση του K και η ευθεία g είναι η εφαπτόμενη στο K του περικύκλου του τριγώνου ABC (επόμενο σχήμα).

[0_0] [0_1] [0_2]

Πόρισμα Κάθε σημείο P με σταθερή σχετική θέση ως προς το ABC (π.χ. έχον σταθερές τριγραμμικές συντεταγμένες ως προς ABC, δες και [4]) διαγράφει ευθεία.
Πράγματι ενώνοντας το P με τα A και B σχηματίζεται τρίγωνο PAB το οποίο κατά την μεταβολή του ABC παραμένει όμοιο εαυτώ, έχει την Α σταθερά και την Β κινούμενη επί της ΧΥ. Άρα κατά την προηγούμενη ιδιότητα το Ρ θα κινήται επ' ευθείας.
Έτσι, λ.χ. το περίκεντρο του ABC θα κινήται επ' ευθείας. Το ίδιο θα συμβαίνει με το ορθόκεντρο, κέντρο βάρους κτλ..

[alogo] 2. Κατασκευή ομοίου τριγώνου

Πρόβλημα Κατασκεύασε τρίγωνο ABC όμοιο δοθέντος A'B'C' και έχον τις κορυφές του αντίστοιχα επί τριών ευθειών {a,b,c}.

[0_0] [0_1]
[1_0] [1_1]

Χρησιμοποιώντας τα συμπεράσματα της πρώτης παραγράφου, αρκεί να πάρουμε τυχόν σημείο B επί της ευθείας b και να θεωρήσουμε όλα τα τρίγωνα ABC που έχουν σταθερή κορυφή την B το C κινούμενο στην c και είναι συνεχώς όμοια του Α'Β'C'. Τότε η κορυφή τους A κινήται επί ευθείας a0, που σχηματίζει γωνία Β με την ευθεία c στο σημείο τομής της K με αυτήν. Έστω Α το σημείο τομής της a0 με την a. Το τρίγωνο ABC όμοιο του Α'Β'C' είναι το ζητούμενο.

[alogo] 2. Ένα σύνολο ομοίων τριγώνων

Αναφέρομαι στο προηγούμενο σχήμα και την κατασκευή του τριγώνου ABC. Προφανώς όλα τα τρίγωνα ABC με κορυφές {A, B, C} αντίστοιχα επί των ευθειών {a, b, c} και όμοια προς το A'B'C' κατασκευάζονται με τον προηγούμενο τρόπο. Μετακινώντας το B στην ευθεία b παίρνουμε μιά απλή απειρία τριγώνων ABC με τις κορυφές τους αντίστοιχα στις ευθείες {a,b,c}. Συμπεραίνουμε ότι δοθέντων τριών ευθειών και τριγώνου A'B'C' υπάρχει μιά απλή απειρία τριγώνων ABC ομοίων προς το Α'Β'C' και εχόντων κορυφές αντίστοιχα στις ευθείες {a,b,c}. Η επόμενη εικόνα διευκολύνει στην διερεύνηση της δομής του συνόλου αυτών των ομοίων τριγώνων.

[0_0] [0_1] [0_2] [0_3]
[1_0] [1_1] [1_2] [1_3]
[2_0] [2_1] [2_2] [2_3]

Το σχήμα δείχνει δύο τρίγωνα {A0B0C0, ABC} όμοια μεταξύ τους με τις κορυφές τους αντίστοιχα σε τρεις ευθείες {a, b, c}. Δείχνει επίσης τα σημεία τομής {Α*, Β*, C*} αντιστοίχων πλευρών τους (Α* τομή των Β0C0, BC, Β* τομή των C0A0 και CA και C* τομή των Α0Β0 και ΑΒ). Θεωρώ το Α0B0C0 ακίνητο και το ABC μεταβλητό με τις κορυφές του αντίστοιχα επί των τριών ευθειών και πάντα όμοιο προς το A0B0C0.
[1] Ο κύκλος που διέρχεται από τα {C, C0, A*} θα διέρχεται και από το Β*.
Αυτό έπεται αμέσως από την ισότητα των γωνιών A*C0B* και A*CB*. Ανάλογες ιδιότητα ισχύει και γιά τους άλλους δύο κύκλους και τελικά έχουμε τρεις κύκλους διερχόμενους από τις κορυφές των τετραπλεύρων
{CC0A*B*, AA0B*C*, BB0C*A*}.
[2] Οι τρεις αυτοί κύκλοι διέρχονται από κοινό σημείο Ο.
Αυτό προκύπτει από την γνωστή πρόταση του Μiquel (δες Σημείο του Miquel ) διότι τα {A*,B*,C*} είναι σημεία επί των πλευρών-ευθειών του ABC και οι κύκλοι διέρχονται από τις κορυφές των τριγώνων {A*B*C, B*C*A, C*A*B}.
[3] Το Ο είναι κέντρο ομοιότητας των τριγώνων A0B0C0 και ABC.
Αυτό φαίνεται λ.χ. σχηματίζοντας τα τρίγωνα ΟA0C0 και OAC. Οι γωνίες τους στα {Α, Α0} είναι ίσες αφού είναι στον ίδιο κύκλο και βλέπουν το τόξο OB*. Το ίδιο συμβαίνει και με τις γωνίες τους στα {C, C0}. Άρα τα τρίγωνα αυτά είναι όμοια με λόγο ομοιότητας τον λόγο των πλευρών Α0C0/AC.
[4] Το Ο είναι σταθερό σημείο του επιπέδου, ανεξάρτητο από την θέση των A0B0C0 και ABC (και εξαρτώμενο μόνον από τις (ίσες αντίστοιχα) γωνίες τους και την θέση των ευθειών {a,b,c}).
Αυτό προκύπτει από το προηγούμενο παίρνοντας το Β σε μιά ειδική θέση λ.χ. την τομή των {b,c} και κατασκευάζοντας το αντίστοιχο ΟAC.
[5] Κάθε σημείο P με σταθερή σχετική θέση ως προς ABC διαγράφει ευθεία.
Αυτό προκύπτει από το προηγούμενο και την πρώτη παράγραφο θεωρώντας λ.χ. το τρίγωνο ΟΑP με το Ο σταθερό, το Α να κινήται επί της a και παραμένον όμοιο εαυτώ.
[6] Το σημείο O είναι ένας οδηγός εγγραφής του τριγώνου (ομοίου προς το) ABC στο τρίγωνο με πλευρές που ορίζονται από τις ευθείες {a, b, c} (δες Οδηγοί εγγραφής , εδώ είναι μιά διαφορετική άποψη του ίδιου θέματος). Αυτό αντανακλάται στο ότι οι γωνίες A0B1C0 και Α0ΟC0 είναι ίσες και το τετράπλευρο B1A0OC0 εγγράψιμο (οι γωνίες ΟΑ0Α και ΟC0C ίσες). Συνέπεια αυτού είναι ότι το ποδικό του Ο ως προς το τρίγωνο που σχηματίζουν οι ευθείες {a, b, c} είναι όμοιο του ABC και ένα από τα τρίγωνα της οικογένειας.

[alogo] 3. Σχετικό πρόβλημα με διανύσματα

Δίδεται τρίγωνο A0B0C0 και τρία διανύσματα {a1, b1, c1}. Προσθέτοντας τα διανύσματα αυτά σε αντίστοιχες κορυφές του τριγώνου παίρνουμε το τρίγωνο με κορυφές {A=A0+a1, B=B0+b1, C=C0+c1}. Να βρεθεί ικανή και αναγκαία συνθήκη γιά τα τρία διανύσματα, ώστε το ABC να είναι όμοιο του A0B0C0.

[0_0] [0_1] [0_2]

Η αναγκαία και ικανή συνθήκη είναι τα άκρα των διανυσμάτων να ορίζουν τρίγωνο όμοιο του ΑBC. Δηλαδή παίρνοντας τυχόν σημείο O και μεταφέροντας παράλληλα τα διανύσματα ώστε να εφαρμόζουν στο Ο θα πρέπει τα πέρατά τους να σχηματίζουν τρίγωνο A2B2C2 όμοιο του ABC.
Το αναγκαίο φαίνεται διαλέγοντας μιά κορυφή, λ.χ. την Β0 και φέρνοντας από αυτήν παράλληλα στα διανύσματα οπότε σχηματίζεται το τρίγωνο ΒC1A1. Αν το ΑΒC είναι όμοιο του A0B0C0 τότε τα τρίγωνα {CC1B, AA1B} είναι επίσης όμοια. Αυτό προκύπτει από τους λόγους CC1/CB = AA1/AB και την ισότητα των γωνιών C1CB = A1AB που ισούται με την γωνία στροφής της ομοιότητας που πάει το A0B0C0 στο ABC. Από την ομοιότητα αυτών των τριγώνων προκύπτει ανάλογα και η ομοιότητα των τριγώνων BA1C1 και BAC. Το επιχείρημα αντιστρέφεται και αποδεικνύει και το ικανό της συνθήκης γιά τα τρία διανύσματα.
Παρατήρηση-1 Αν ισχύει η συνθήκη τότε παίρνοντας πολλαπλάσια των διανυσμάτων {ka1, kb1, kc1} θα έχουμε αντίστοιχο A2B2C2 όμοιο του προηγουμένου, άρα έχουμε έναν άλλο τρόπο κατασκευής όλων των τριγώνων ABC που οι κορυφές τους γλιστρούν στις ευθείες {a,b,c} ενώ τα ίδια παραμένουν διαρκώς όμοια του A0B0C0.
Παρατήρηση-2 Βάσει της προηγουμένης παρατήρησης η οικογένεια των τριγώνων αυτών θα περιγράφεται από δύο οποιαδήποτε μέλη, όπως τα {A0B0C0, ABC} και τις διανυσματικές εξισώσεις:
At = (1-t)A0 + tA,
Bt = (1-t)B0 + tB,
Ct = (1-t)C0 + tC. (*)
Παρατήρηση-3 Αυτή η περιγραφή μπορεί να διαβασθεί και ανάποδα. Με την ένοια ότι
κάθε ζεύγος ομοίων τριγώνων ορίζει μέσω των προηγουμένων εξισώσεων μιά απλή (μονοπαραμετρική λέει κανείς) απειρία ομοίων προς αυτά τρίγωνα.
Παρατήρηση-4 Οι προηγούμενες εξισώσεις ορίζουν γενικώτερα μιά οικογένεια τριγώνων από δύο οποιαδήποτε τρίγωνα A0B0C και ABC. Το συμπέρασμα που προκύπτει από την ανάλυση εδώ είναι ότι αν η οικογένεια αυτή περιέχει δύο όμοια τρίγωνα τότε όλα τα τρίγωνα της οικογένειας θα είναι όμοια μεταξύ τους. Η άρνηση βέβαια προφανής: αν δύο τρίγωνα της οικογενείας, λ.χ. τα A0B0C0 και ABC δεν είναι όμοια, τότε σε αυτήν την οικογένεια δεν υπάρχει ούτε ένα ζεύγος ομοίων τριγώνων.
Παρατήρηση-5 Tέτοιες γενικώτερες οικογένειες τριγώνων εξετάζονται στο Ευθεία τριγώνων , όπου αποδεικνύεται ότι οι πλευρές των τριγώνων είναι εφαπτόμενες τριών παραβολών. Εξειδικεύοντας στην περίπτωση που τα A0B0C0 και ABC είναι όμοια, έχουμε ότι και σε αυτήν την περίπτωση οι πλευρές των τριγώνων AtBtCt είναι αντίστοιχα εφαπτόμενες παραβολών. Στηριζόμενοι σε αυτό μπορούμε πολύ εύκολα κατόπιν να δείξουμε ότι κάθε ευθεία Lt πού έχει σταθερή σχετική θέση ως προς το AtBtCt περιβάλλει μιά ορισμένη παραβολή. Η ανάλυση λοιπόν μπορεί να συνοψισθεί στο θεώρημα:

Θεώρημα Μιά οικογένεια ομοίων τριγώνων των οποίων οι κορυφές {At,Bt,Ct} περιέχονται σε τρεις αντίστοιχες ευθείες {a,b,c} περιγράφεται με διανυσματικές εξισώσεις όπως οι (*). Κάθε σημείο που έχει σταθερή σχετική θέση ως προς το AtBtCt διαγράφει και αυτό μιά ευθεία. Κάθε ευθεία που έχει σταθερή σχετική θέση ως προς το AtBtCt περιβάλλει μιά παραβολή.
Δες στο Ομοιότητα το ανάλογο θεώρημα γιά οικογένειες ομοίων τριγώνων των οποίων οι πλευρές διέρχονται από τρία σταθερά σημεία.

Παρατήρηση-6 Στις εξισώσεις (*) μπορούν να προστεθούν και άλλες παρόμοιες και να ορισθούν οικογένειες πολυγώνων AtBtCtDt...Zt. Ισχύουν ανάλογα συμπεράσματα που αποδεικνύονται χωρίζοντας το πολύγωνο σε τρίγωνα και εφαρμοζοντας τα προηγούμενα συμπεράσματα.

[alogo] 4. Και το αντίστροφο πρόβλημα

Μετά τόση εμβρίθεια στο ίσο πρέπει να δούμε και ένα είδος αντιστρόφου:
[1] Δοθείσης μιάς οικογένειας ομοίων τριγώνων AtBtCt όπως προηγουμένως, είναι κάθε ευθεία του επιπέδου τροχιά ενός σημείου με σταθερή θέση ως προς AtBtCt;
[2] Πώς ευρίσκεται η σχετική θέση αυτού του σημείου ως προς το AtBtCt από την ευθεία;

Η απάντηση στο πρώτο ερώτημα είναι ναι και αυτή, καθώς και η απάντηση στο δεύτερο ερώτημα, μπορεί να δοθεί χρησιμοποιώντας την παραμετρική παράσταση (*) της οικογένειας των τριγώνων.

Λήμμα Το σημείο Pt έχει σταθερή θέση ως προς το τρίγωνο AtBtCt τότε και μόνον τότε όταν εκφράζεται υπό μορφή:
Pt = At + k1(Bt - At) + k2(Ct - At), (**)
όπου τα {k1, k2} είναι σταθερές.

Η απόδειξη είναι προφανής. Κάθε σημείο με σταθερή θέση θα έχει σταθερές συντεταγμένες ως προς την βάση των διανυσμάτων {Bt - At, Ct - At}. Και αντίστροφα κάθε τέτοιο σημείο θά έχει σταθερή θέση ως προς το τρίγωνο AtBtCt.

Έτσι δοθείσης ευθείας που εκφράζεται μέσω εξίσωσης f(x,y) =ux+vy+w = 0, και σύντομα f(X)=g(X)+w=0, όπου g(X) = ux+vy, θα πρέπει να βρούμε {k1, k2} σταθερά ωστε να την παραστήσωμε στην μορφή (**). Τα {k1, k2} θα δίνουν τότε και την σχετική θέση του Pt ως προς το AtBtCt.
Εισαγάγοντας την (*) στην (**) παίρνουμε την
Pt = (1-t)( A0 + k1(B0-A0) + k2(C0-A0)) + t(A + k1(B-A) + k2(C-A)).
Η ταύτιση της ευθείας f(X)=0 με την παραμετρική ευθεία που δίνει η προηγούμενη εξίσωση συνεπάγεται ότι τα δύο σημεία {U0, U} που παριστάνουν οι δύο μεγάλες παρενθέσεις θα πρέπει να ικανοποιούν την εξίσωση της ευθείας, άρα
g(U0)+w = 0 <=> k1g(B0-A0)+k2g(C0-A0) + g(A0)+w = 0,
g(U) + w = 0. <=> k1g(B-A)+k2g(C-A) + g(A)+w = 0.

Ο προσδιορισμός λοιπόν του σημείου ανάγεται στην λύση αυτού του γραμμικού συστήματος ως προς τους αγνώστους {k1, k2}. Το σύστημα έχει πίνακα τον

[0_0]

που μας ενδιαφέρει η ορίζουσά του. Ο ωραίος αυτός πίνακας έχει όμως ορίζουσα διάφορο του μηδενός σε κάθε περίπτωση οικογένειας ομοίων τριγώνων που οι ευθείες {a,b,c} δεν συντρέχουν σε σημείο. Έτσι το σύστημα λύνεται μονοσήμαντα ως προς {k1,k2} και προσδιορίζει την θέση του ποθητού, σταθερού ως προς AtBtCt σημείου που κατά την κίνηση του τελευταίου διαγράφει την δοθείσα ευθεία.

[alogo] 5. Υπολογισμός μιάς ορίζουσας

Για την πληρότητα της συζήτησης δείχνω τον μη-μηδενισμό της ορίζουσας του προηγούμενου πίνακα. Αυτός ο πίνακας έχει συντεταγμένες που στην ουσία είναι εσωτερικά γινόμενα διανυσμάτων. Έτσι το g(B-A) είναι το εσωτερικό γινόμενο του διανύσματος (u,v) και του Β-Α, που ως γνωστόν είναι |g||AB|cos(φ1), όπου φ1 η γωνία μεταξύ των δύο διανυσμάτων. Ανάλογοι τύποι ισχύουν και γιά τα άλλα στοιχεία του πίνακα. Επειδή τα τρίγωνα ABC και A0B0C0 είναι όμοια, έστω με λόγο r, θα έχουμε |A0B0|=r|AB| και ο πίνακας θα έχει την μορφή

[0_0] [0_1] [0_2]

Οι γραμμές της τελευταίας ορίζουσας είναι στην ουσία οι συντεταγμένες του μοναδιαίου στην κατεύθυνση του g ως προς δύο βάσεις, που προκύπτει η μία από την άλλη κατά την στροφή της ομοιότητας που πάει ένα από τα τρίγωνα {A0B0C0, ABC} στο άλλο. Η ίδια ορίζουσα προκύπτει αν γράψουμε το διάνυσμα ως προς μία από τις βάσεις κατόπιν στρίψουμε το διάνυσμα κατά την γωνία στροφής της ομοιότητας και κατόπιν το προβάλλουμε στην ίδια βάση. Η ορίζουσα λοιπόν εκφράζει στην ουσία το εμβαδόν (πολλαπλάσιο αυτού γιατί παίρνουμε προβολές στους άξονες και όχι συντεταγμένες ακριβώς) του παραλληλογράμμου που ορίζεται από δύο μοναδιαία διανύσματα που σχηματίζουν μεταξύ τους γωνία ίση με την γωνία στροφής της ομοιότητας που πάει το ένα τρίγωνο στο άλλο. Είναι συνεπώς διάφορη του μηδενός σε κάθε περίπτωση που υπάρχει τέτοια στροφή και η στροφή δεν είναι ακέραιο πολλαπλάσιο του π. Αυτό όμως ισχύει στην γενική περίπτωση που οι ευθείες {a,b,c} δεν συντρέχουν σε κοινό σημείο.

Δείτε ακόμη

Σημείο του Miquel
Οδηγοί εγγραφής
Ομοιότητα
Ευθεία τριγώνων

Επιστροφή στο Γεωμετρικόν

Δημιουργήθηκε με το EucliDraw©