SymmetriesComposition

1. Συμμετρία ως προς σημείο

Η συμμετρία ως προς σημείο Ρ είναι ο μετασχηματισμός του επιπέδου ο οποίος στο τυχόν σημείο Χ του επιπέδου αντιστοιχεί το Χ' έτσι ωστε το ευθύγραμμο τμήμα ΧΧ' να έχει το Ρ ως μέσον. Το Ρ λέγεται κέντρο της συμμετρίας.

Ο απλούστατος αυτός μετασχηματισμός έχει μεταξύ άλλων τις ιδιότητες:
[1] είναι μιά στροφή κατά 180 μοίρες περί το Ρ,
[2] παριστάνεται ως σύνθεση δύο ανακλάσεων ως προς δύο ευθείες {ε₁, ε₂} κάθετες μεταξύ τους που τέμνονται στο Ρ.
[3] Στην παράσταση αυτή του μετασχηματισμού δεν παίζει ρόλο ο προσανατολισμός των ευθειών, δηλαδή και δύο άλλες ευθείες {η₁,η₂} διερχόμενες διά του Ρ και κάθετες μεταξύ τους δίνουν ως σύνθεση των αντιστοίχων ανακλάσεων την ίδια συμμετρία.

2. Σύνθεση δύο συμμετριών

Η σύνθεση δύο συμμετριών ως προς δύο σημεία Ρ και Ρ' είναι η μεταφορά κατά το διπλάσιο του διανύσματος ΡΡ'.

Η απόδειξη προκύπτει αμέσως από την ιδιότητα 1.3, σύμφωνα με την οποία στην παράσταση της συμμετρίας ως προς Ρ με δύο ανακλάσεις, μπορούμε να πάρουμε τα κάτοπτρα με οποιοδήποτε προσανατολισμό αρκεί να είναι κάθετα μεταξύ τους. Έτσι στην παράσταση των δύο συμμετριών παίρνουμε ως ένα από τα κάτοπτρα την ευθεία ε που ορίζουν τα δύο σημεία. Την πρώτη παριστάνουμε ως σύνθεση δύο ανακλάσεων RR₁ ως προς τις ευθείες {ε₁, ε} και την δεύτερη ως σύνθεση δύο ανακλάσεων R₂R ως προς τις ευθείες {ε, ε₂}.
Στην σύνθεση των δύο συμμετριών μέσω ανακλάσεων F = (R₂R)(RR₁) = R₂(RR)R₁ = R₂R₁ ο μεσαίος όρος απαλείφεται διότι η RR είναι ο ταυτοτικός μετασχηματισμός. Επίσης η F είναι σύνθεση δύο ανακλάσεων ως προς παράλληλες ευθείες {ε₁, ε₂} και ο ισχυρισμός προκύπτει αμέσως (ΧΧ' είναι παράλληλο και διπλάσιο του ΡΡ').

3. Σύνθεση περισσοτέρων συμμετριών

Μπορούμε να βγάλουμε συμπέρασμα και γιά το αποτέλεσμα περισσοτέρων συμμετριών ως προς ακολουθία σημείων A₁, ..., A_N. Μάλιστα το αποτέλεσμα εξαρτάται από το αν ο Ν είναι άρτιος ή περιττός.
[1] Αν το Ν είναι άρτιος, τότε η σύνθεση F = A_N*...*A₁ των συμμετριών είναι μιά μεταφορά.
[2] Αν το Ν είναι περιττός, τότε η σύνθεση αυτή είναι μιά συμμετρία ως προς σημείο Β.
Εδώ χρησιμοποιώ το ίδιο γράμμα γιά την συμμετρία και το κέντρο της. Το * δηλώνει την σύνθεση απεικονίσεων.

H απόδειξη στηρίζεται στο προηγούμενο συμπέρασμα γιά δύο συμμετρίες. Την σύνθεση Α_Ν*...*Α₁ γράφουμε ως (...)*(Α₄*Α₃)*(Α₂*Α₁) ζευγών συμμετριών. Κάθε τέτοιο ζεύγος είναι μιά μεταφορά, η δε σύνθεση μεταφορών είναι πάλι μεταφορά. Αυτό αποδεικνύει την [1]. Στην περίπτωση [2] στην προηγούμενη ανάλυση σε ζεύγη περισσεύει ο τελευταίος όρος Α_Ν ένώ όλοι οι προηγούμενοι συντίθενται σε μιά μεταφορά.
Άρα η [2] ανάγεται στην ιδιότητα της συμμετρίας:
[3] Η σύνθεση μεταφοράς και συμμετρίας ή συμμετρίας και μεταφοράς είναι συμμετρία.
H απόδειξη είναι πάλι τετριμμένη και στηρίζεται στην ανάλυση της συμμετρίας σε σύνθεση κατοπτρισμών, όπως στην προηγούμενη παράγραφο.

Στα παραπάνω σχήματα σημειώνεται η διαφορά που προκύπτει από την διάταξη των όρων. S_P συμβολίζει την συμμετρία ως προς Ρ και Τ_v την μεταφορά κατά το διάνυσμα v. Η σύνθεση μεταφοράς και συμμετρίας είναι συμμετρία. Η διάταξη παίζει ρόλο στην θέση του Q ως προς το Ρ.

Οι ιδιότητες των συμμετριών και της σύνθεσής τους παίζουν αποφασιστηκό ρόλο στην λύση του προβλήματος του Carnot (δες Πρόβλημα του Carnot ) που ζητά την κατασκευή ενός πολυγώνου όταν δίδονται τα μέσα των πλευρών του.

Δείτε ακόμη

Πρόβλημα του Carnot
Στροφές

Βιβλιογραφία

Yaglom, I. M. Geometric Transformations Ι Washington DC, Math. Assoc. Ammer., 1962.

Επιστροφή στο Γεωμετρικόν

http://users.math.uoc.gr/~pamfilos/