Thales

Θεώρημα του Θαλή

Δίδονται παράλληλες ευθείες e₁, e₂, ... και διατέμνουσες αυτών a, b, ... . Οι παράλληλες ευθείες αποτέμνουν επί των a, b, ... ευθύγραμμα τμήματα των οποίων οι λόγοι μηκών είναι οι ίδιοι.
Στο επόμενο σχήμα AB/BC = A'B'/B'C', BC/CD = B'C'/C'D' κτλ. ... .
Συχνά γράφουμε AB : BC : CD : DE ... = A'B' : B'C' : C'D' : D'E' ... .

Το αντίστροφο αληθεύει επίσης. Εάν οι ευθείες e₁, e₂, e₃, ... αποτέμνουν σε δύο άλλες ευθείες a,b ανάλογα ευθύγραμμα τμήματα (δηλαδή ικανοποιούντα AB : BC : CD : DE ... = A'B' : B'C' : C'D' : D'E' ...), τότε οι e₁, e₂, ... είναι παράλληλες.

Μιά απόδειξη βασιζόμενη σε μιά βασική ιδιότητα εμβαδόν τριγώνων έχει ως εξής:
Ο λόγος των εμβαδών των τριγώνων: ε(AB'B)/ε(BB'C) = AB/BC. Ανάλογα ε(A'BB')/ε(B'BC') = A'B'/B'C'.
Όμως ε(AB'B) = ε(A'BB') και ε(BB'C) = ε(B'BC') κτλ..
Το επιχείρημα μπορεί να αντιστραφεί και να αποδείξει το αντίστροφο θεώρημα.

Μιά ενδιαφέρουσα συνέπεια συνδέουσα τα σημεία A*, B*, ... και το O εξετάζονται στο αρχείο Θεώρημα Θαλή ΙΙ .

Δείτε ακόμη

Θεώρημα Θαλή ΙΙ
Παρατηρήσεις στο θεώρημα Θαλή

Επιστροφή στο Γεωμετρικόν

http://users.math.uoc.gr/~pamfilos/