ThalesRemarks

Παρατηρήσεις στο θεώρημα του Θαλή

[ 1 ] Θεώρησε τις ευθείες {a,b,c} που διέρχονται από το σημείο O. Έστω τέμνου (e) αυτών των ευθειών στα σημεία {A,B,F} αντίστοιχα. Έστω τώρα σημείο P κινούμενο επί της ευθείας (c) και οι τομές {D,C} των ευθειών AP, BP με τις {a, b} αντίστοιχα. Όταν το F συμπίπτει με το μέσον του AB, οι ευθείες (f) είναι παράλληλες της (e). Όταν το F δεν είναι το μέσον της AB, όλες οι ευθείες (f) διέρχονται από σημείο E της (e), που είναι το αρμονικό συζυγές του F ως προς το {A,B}. Οι δύο περιπτώσεις αυτές εξετάζονται στο Thales2.html και Harmonic.html αντίστοιχα.

[ 2 ] Τα σημεία Ε περιέχονται στην αρμονική συζηγή ευθεία της c=OP ως προς το ζεύγος ευθειών (a,b). Γενικώτερα, αν το τετράπλευρο ABCD έχει κορυφές {A,D} επί της ευθείας (a), κορυφές {B,C} επί της ευθείας (b) και σημείο τομής P των διαγωνίων του (AC,BD) περιεχόμενο στην ευθεία (c), τότε το σημείο τομής Ε του ζεύγους πλευρών (AB,CD) είναι πάντοτε σε μία ευθεία (κόκκινη) που είναι αρμονική συζυγής της (c) ως προς τις (a,b).

[ 3 ] Εξετάζουμε το ίδιο σχήμα και τις ίδιες δύο περιπτώσεις. Μπορεί να ορίσει κανείς μιά απεικόνιση ως εξής: Γιά κάθε ευθεία (f), παράλληλη της e (εναλλακτικά, διερχόμενη διά του E), όρισε την αντιστοίχιση σημείων D --> C. Ορίζοντας συντεταγμένες στις ευθείες (a), (b) με αρχή στο O, η πρώτη αντιστοίχιση παρίσταται με f(x) = ux, με u σταθερά. Αυτή είναι μια συναρτησιακή άποψη του θεωρήματος του Θαλή. Στην δεύτερη περίπτωση η αντιστοίχιση παίρνει την μορφή f(x) = px/(qx+r), με σταθερές {p,q,r}. Η σχέση αυτή είναι ομογραφική. Η δεύτερη περίπτωση είναι μιά γενίκευση αυτής της άποψης. Η γραμμική σχέση γενικεύεται σε μιά ομογραφική σχέση μεταξύ δύο ευθειών (a), (b), δες το Σχέσεις με γράφημα ορθογώνια υπερβολή γιά μιά συζήτηση αυτού του θέματος. Οι επόμενες παρατηρήσεις είναι σχόλια σε αυτήν την συναρτησιακή άποψη του θεωρήματος του Θαλή και της γενίκευσής του.

[ 4 ] Στην συνέχεια τροποποιώ ελαφρά την προηγούμενη εικόνα επιτρέποντας στην ευθεία (c) να μην περνά από το σημείο τομής O των (a) και (b). Και πάλι κατασκευάζουμε τις ευθείες (f) με τον ίδιο τρόπο: παίρνοντας αυθαίρετο σημείο P στην (c), φέρνοντας τις PA, PB και βρίσκοντας τις τομές τους C, D με τις b, a αντίστοιχα. Η ευθεία (f) τώρα περιβάλλει μιά κωνική. Γιά μεταβλητό P στην (c), η σχέση μεταξύ των συντεταγμένων στις a, b είναι πάλι ομογραφική: y = (px)/(qx+r). Η κωνική είναι εφαπτόμενη στις ευθείες {a, b, e, f} στα σημεία {K, H, E, G} αντίστοιχα. Το μεταβλητό σημείο G συμπίπτει πάντοτε με το σημείο τομής της f με την ευθεία g = EP, όπου E είναι το αρμονικό συζυγές τους F ως προς {A, B}. Υπάρχουν και άλλες σχέσεις κρυμμένες στο παρακάτω σχήμα. Μεταξύ άλλων η πολική του P ως προς την κωνική περνά από τα σημεία O και J.
Το σχήμα έχει ένα είδος συμμετρίας και θα μπορούσε να θεωρηθεί σαν μιά κατασκευή με αφετηρία τις ευθείες {e,f,g} αντί των {a,b,c}. Η παραγωγή της κωνικής ως περιβάλλουσας των ευθειών (f) είναι συνέπεια της μεθόδου ορισμού κωνικών των Chasles-Steiner και εξετάζεται στο αρχείο Η Chasles-Steiner μέθοδος .

[ 5 ] Το προηγούμενο σχήμα μπορεί να θεωρηθεί επίσης ως μία λύση του εξής προβλήματος:
Να κατασκευασθεί κωνική εφαπτόμενη δύο ευθειών {a, b} σε δύο σημεία τους {K, H} αντίστοιχα καθώς επίσης και εφαπτόμενη σε τρίτη ευθεία e.
Γιά την λύση φέρε την ευθεία c = KH, βρες το F επί της ευθείας e και το συζηγές του E (ως προς Α,Β). Η κωνική που ζητάμε περνά από τα {H,K,E} και δύο πρόσθετα σημεία G₁, G₂, που κατασκευάζονται ως σημεία τομής των PE και DC, γιά δύο αυθαίρετες θέσεις του Ρ: P=P₁, P=P₂ επί της ευθείας (c).

[ 6 ] Μιά άλλη άποψη του ιδίου σχήματος είναι να θεωρήσουμε σαν πρωταρχική την κωνική και τα υπόλοιπα σαν μιά κατασκευή επί της κωνικής. Ακριβέστερα, να θεωρήσουμε τις ευθείες {a,b,e} ως τρείς αυθαίρετες εφαπτόμενες της κωνικής. Κατόπιν δε να θεωρήσουμε μιά τέταρτη μεταβλητή εφαπτόμενη f της κωνικής και να ορίσουμε το σημείο P ως τομή των ευθειών AC και BD. Τότε το σημείο P κινήται επ' ευθείας (της c). Αυτό συνδέεται με το ότι η πολική του P είναι η ευθεία OJ (μη σχεδιασμένη). Συνεπώς η ευθεία (c) συμπίπτει σε αυτήν την περίπτωση με τον τόπο των πόλων των ευθειών OJ ως προς την κωνική. Τούτος όμως συμπίπτει με την πολική του O, που είναι η (c).

[ 7 ] Μιά ενδιαφέρουσα ειδίκευση της προηγούμενης περίπτωσης συμβαίνει όταν η ευθεία e ταυτίζεται με την ευθεία στο άπειρο. Τότε γιά κάθε σημείο P φέρνουμε την PA παράλληλο προς την b και την PB παράλληλο προς την a και βρίσκουμε τις τομές {C, D} με τις a και b αντίστοιχα. Η ευθεία g είναι η αρμονική συζυγής της c ως προς τις PA και PB και το G είναι η τομή της g με την ευθεία CD. Επειδή το τρίγωνο PAB είναι πάντοτε όμοιο προς σταθερό τρίγωνο, οι ευθείες g είναι παράλληλες γιά όλες τις θέσεις του P. Η κωνική είναι παραβολή με άξονα συμμετρίας παράλληλο προς την κατεύθυνση της g. Το σημείο τομής L του άξονα με την ευθεία (c) είναι εκείνο γιά το οποίο η CD γίνεται κάθετη προς την (g). Το τρίγωνο OCD είναι περιγεγραμμένο της παραβολής και συνεπώς ο περίκυκλός του περνά από την εστία V της παραβολής. Αυτό μας δίδει την κατασκευή του V και συνεπώς έναν τρόπο κατασκευής της παραβολής που είναι εφαπτόμενη σε δύο ευθείες {a,b} σε δύο σημεία {H,K} αντίστοιχα. Ένας εναλλακτικός τρόπος κατασκευής αυτής της παραβολής εξετάζεται στο Παραβολές του Artzt , δες επίσης το Παραβολή σε πλαγιογώνιους άξονες .

[ 8 ] Μιά άλλη ενδιαφέρουσα ειδίκευση προκύπτει όταν η κωνική είναι κύκλος. Ο κύκλος αυτός τότε είναι παρεγγεγραμμένος του τριγώνου ABC και η ευθεία (c) συμπίπτει με την πολική του A (είναι παράλληλος της διχοτόμου της A). Γιά κάθε σημείο P σε αυτήν την πολική, οι ευθείες PB, PC τέμνουν τις πλευρές σε σημεία {I, H} αντίστοιχα, και η ευθεία HI είναι εφαπτόμενη του παρεγγεγραμμένου, με σημείο επαφής K που δίδεται από την τομή (της ΗΙ) με την ευθεία PE.

Δείτε ακόμη

Παραβολές του Artzt
Παραβολή σε πλαγιογώνιους άξονες
Σχέσεις με γράφημα ορθογώνια υπερβολή
Η Chasles-Steiner μέθοδος
Θεώρημα του Θαλή
Θεώρημα του Θαλή ΙΙ
Γενίκευση θεωρήματος του Θαλή

Επιστροφή στο Γεωμετρικόν

http://users.math.uoc.gr/~pamfilos/