Thales2

1. Θεώρημα Θαλή - II

Δίδονται οι παράλληλες ευθείες e₁, e₂, ... και τρεις τέμνουσες αυτών a, b και c, διερχόμενες δια σημείου O.
Σε κάθε παράλληλο οι τέμνουσες ορίζουν τμήματα που έχουν τον ίδιο λόγο: AY₁/Y₁A' = BY₂/Y₂B' = ... .

Το αντίστροφο αληθεύει επίσης. Εάν οι τέμνουσες a, b και c ορίζουν επί των παραλλήλων e₁, e₂, ... ανάλογα ευθύγραμμα τμήματα (δηλ. AY₁/Y₁A' = BY₂/Y₂B' = ...) τότε οι τέμνουσες a, b και c διέρχονται από κοινό σημείο O.

Γιά να δείς λ.χ. ότι BY₂/Y₂B' = AY₁/Y₁A', φέρε παράλληλες των a, b από το Y₂ και όρισε σημεία A*, A'' όπως στο σχήμα. Εφάρμοσε κατόπιν το θεώρημα του Θαλή στις παράλληλες {a , A*Y₂}. Συμπέρανε ότι AY₁/BY₂ = AY₁/AA* = Y₁O/Y₂O. Ανάλογα Y₁A'/Y₂B' = Y₁O/Y₂O.
Άρα AY₁/BY₂ = Y₁A'/Y₂B' ή ισοδύναμα AY₁/Y₁A' = BY₂/Y₂B'.
Το αντίστροφο αποδεικνύεται αντιστρέφοντας το επιχείρημα και εφαρμόζοντας το αντίστροφο του θεωρήματος του Θαλή.

2. Πόρισμα του θεωρήματος του Θαλή

Δίδονται παραλληλες ευθείες e₁, e₂, ... και δύο τέμνουσες αυτών a, b. Τα σημεία τομής A*, B* ... των διαγωνίων των τραπεζίων με παράλληλες πλευρές επί δύο ευθειών εκ των {e_i} και μη παράλληλες επί των {a, b}, περιέχονται σε ευθεία (c) διερχόμενη από το σημείο τομής O των ευθειών {a,b}. Η ευθεία αυτή διέρχεται επίσης από τα μέσα όλων των πλευρών EE', DD', ... .

Πράγματι, η ευθεία c είναι η διάμεσος των τριγώνων OEE', ODD', ... . Γιά να το δούμε εξετάζουμε ένα από αυτά τα τρίγωνα και εφαρμόζουμε το προηγούμενο θεώρημα. Επιλέγουμε το A*, φέρουμε παράλληλο προς τις {e_i} και δείχνουμε ότι A*A₁ = A*A₂.
Προς τούτο αφαιρούμε από τα τρίγωνα AA'B και AA'B' το κοινό μέρος τους AA'A* και βλέπουμε ότι ε(AA*B) = ε(A'A*B'). Άρα ε(AA*B) = dA*A₁/2, ε(A'A*B') = dA*A₂/2 ==> A₁A* = A*A₂, όπου d η απόσταση των παραλλήλων e₁, e₂. Άρα το A* είναι το μέσον της A₁A₂.

3. Εφαρμογή του θεωρήματος του Θαλή

Έστω F το μέσον της πλευράς AB τριγώνου ABC. Πάρε σημεία {G,H} επί της AB συμμετρικά ως προς F. Φέρε επίσης την ευθεία e παράλληλο της AB και τέμνουσα τις {CG,CH} στα σημεία {J,K} αντίστοιχα. Δείξε ότι οι ευθείες {AJ,BK} τέμνονται σε σημείο I της διαμέσου CF.

4. Μιά δεύτερη εφαρμογή

Διαίρεσε τις πλευρές τριγώνου ABC κάθε μία σε τρία ίσα μέρη με τα σημεία {D,E,H,I,F,G}. Ένωσε τα σημεία διαμέρισης με τις απέναντι πλευρές και κατασκεύασε με τις τομές των ευθειών που προκύπτουν το εξάγωνο KMLOJN όπως στο επόμενο σχήμα. Δείξε ότι ο λόγος των εμβαδών ε(ABC)/ε(KMLOJN) = 10.

5. Μιά τρίτη εφαρμογή

Διαίρεσε τις πλευρές τριγώνου ABC κάθε μία σε τρία μέρη με τα σημεία {A',A'',B',B'',C',C''}, έτσι ώστε
A'B/A'C=B'C/B'A=C'A/C'B=k και A''B/A''C=B''C/B''A=C''A/C''B=k' (*).
Ένωσε τα σημεία διαμέρισης με τις απέναντι πλευρές και κατασκεύασε με τις τομές των ευθειών που προκύπτουν τα διάφορα τρίγωνα, τετράπλευρα, πεντάπλευρα καθώς και το κεντρικό εξάγωνο DEFGHI όπως στο επόμενο σχήμα. Δείξε ότι:
[1] Τα εμβαδά των σχημάτων που προκύπτουν παραμένουν αναλλοίωτα αν μία κορυφή μετατοπισθεί στην ευθεία που διέρχεται από αυτήν και είναι παράλληλος της απέναντι πλευράς.
[2] Τα τρίγωνα με ίδιο χρώμα έχουν ίσα εμβαδά.
[3] Ο λόγος των εμβαδών ενός από τα τρίγωνα, τετράπλευρα, πεντάπλευρα, εξάγωνο προς το εμβαδόν του τριγώνου ABC παραμένει σταθερός, γιά οποιαδήποτε μορφή του τριγώνου ABC.
Σε όλες τις μεταβολές των κορυφών του ABC θεωρούμε ότι οι λόγοι που ορίζουν τα σημεία {A',A'',B',B'',C',C''} παραμένουν σταθεροί (δηλ. ισχύει η (*)).

Από το [1] προκύπτει ότι γιά την απόδειξη των άλλων δύο ισχυρισμών μπορούμε να περιορισθούμε σε ένα ισόπλευρο ABC. Ένας υπολογισμός των διαφόρων εμβαδών που σχηματίζονται, από τον οποίο μπορούν να προκύψουν αυτοί οι ισχυρισμοί περιέχεται στην εργασία του Steiner που αναφέρεται παρακάτω.

Παρατήρηση-πρόβλημα Από το θεώρημα του Pascal έπεται ότι δεν υπάρχει ποτέ κωνική διερχόμενη από τις κορυφές του DEFGHI. Ωστόσο γιά ορισμένους λόγους {k,k'} οι διαγώνιοι {DG, EH, FI} διέρχονται από κοινό σημείο, άρα κατά Brianchon θα υπάρχει κωνική εφαπτομένη των πλευρών αυτού του εξαγώνου. Προσδιόρισε την σχέση που πρέπει να ικανοποιούν οι δύο λόγοι γιά να ισχύει αυτό.

Δείτε ακόμη

Θεώρημα του Θαλή
Παρατηρήσεις στο θεώρημα του Θαλή
Γενίκευση του θεωρήματος του Θαλή
Θεώρημα του Pascal
Θεώρημα του Brianchon

Βιβλιογραφία

Steiner, J. Werke Bd. I. New York, Chelsea, 1971, pp. 163-168.

Επιστροφή στο Γεωμετρικόν

http://users.math.uoc.gr/~pamfilos/