(Συνέχεια του Πρόβλημα τριών κύκλων )
Έστωσαν a = (O, OB), b = (C, CB) και c = (D, DE) τρεις κύκλοι. Οι (a) και (b) εφάπτονται στο B. Και οι τρεις έχουν σταθερές ακτίνες και το Β κινήται επί του (a) ενώ ο (b) παραμένει συνεχώς εφαπτόμενος του (a) στο Β. Σε κάθε θέση του B σχεδιάζονται οι διχοτόμοι της γωνίας AOB και οι τομές τους F, G με τον ριζικό άξονα των (b) και (c). Τα F και G κινούνται επί ευθειών καθέτων στην κοινή διάμετρο AD των κύκλων (a) και (c).
Ο περίκυκλος (d) του τριγώνου FOG διέρχεται από τρία ακόμη ενδιαφέροντα σημεία. Το H, τομή της JN με την AO, όπου η JN είναι η συμμετρική της OB ως προς την ευθεία FG. Ο (d) διέρχεται επίσης από τα I και J, συμμετρικά των H και O, ως προς την [FG], αντίστοιχα.
Υποθέτοντας ότι τα F, G προβάλλονται πάντοτε στα σταθερά σημεία K, L της AO, αντίστοιχα, θεωρούμε το BN, κάθετο της FG και παράλληλο της διακέντρου CD των (b) και (c).
Έστω M η τομή των BN και AO. Η ισότητα OM/OD = OB/OC συνεπάγεται ότι το M είναι σταθερό επί της AO. Επειδή η FG είναι διάμετρος του κύκλου (d), το J, συμμετρικό του O, ως προς αυτήν την διάμετρο είναι επίσης επί του (d). Μιά εύκολη σύγκριση γωνιών δείχνει ότι γωνία(OHJ) = γωνία(OFJ), άρα το H είναι επίσης επί του (d). Τέλος, το I είναι επί του (d) γιά τον ίδιο λόγο που είναι και το (J). Η προβολή S του κέντρου R του (d) είναι το μέσον της KL και το H είναι συμμετρικό του O ως προς S. Τούτο συνεπάγεται ότι το H είναι σταθερό επί της AO.
Επειδή οι JN και OB έχουν το ίδιο μήκος και HJ/HN = HM/HO, το μήκος της HJ (και της HN) παραμένει σταθερό. Τούτο έχει μιά ενδιαφέρουσα συνέπεια.
Το σημείο P είναι τομή των δύο ευθυγράμμων τμημάτων OB και JN, συμμετρικών ως προς την FG. Επειδή το συνολικό μήκος PH + PO = HJ είναι σταθερό και τα σημεία H και O είναι σταθερά, το P είναι επί της έλλειψης (e) με εστίες τα H και O και μέγα άξονα μήκους ίσου προς το ήμισυ HJ. Επιπλέον η FG είναι εφαπτόμενη της έλλειψης στο σημείο Ρ.
Επειδή οι ευθείες FK και GL είναι ειδικές εφαπτόμενες αυτής της έλλειψης, και κάθετες στον μέγα άξονά της, η απόσταση HJ είναι ίση της KL και ίση προς την ακτίνα του μείζονος κύκλου της έλλειψης.
Σημείωσε ότι η έλλειψη (e) γίνεται παραβολή/υπερβολή, ανάλογα με τις σχετικές θέσεις/διαστάσεις των τριών βασικών κύκλων.
Υπάρχουν και μερικές άλλες ενδιαφέρουσες καμπύλες συνδεόμενες με αυτό το σχήμα. Δείτε το έγγραφο Τριών κύκλων πρόβλημα (ΙΙΙ) , εάν ενδιαφέρεστε.
![[alogo]](alogo.png){kind=small}
Πρόβλημα τριών κύκλων (σχετική κωνική) ![[0_0]](ThreeCirclesProblem1_files/ThreeCirclesProblem1_0_0_0.png)
![[0_1]](ThreeCirclesProblem1_files/ThreeCirclesProblem1_0_0_1.png)
![[0_2]](ThreeCirclesProblem1_files/ThreeCirclesProblem1_0_0_2.png)
![[1_0]](ThreeCirclesProblem1_files/ThreeCirclesProblem1_0_1_0.png)
![[1_1]](ThreeCirclesProblem1_files/ThreeCirclesProblem1_0_1_1.png)
![[1_2]](ThreeCirclesProblem1_files/ThreeCirclesProblem1_0_1_2.png)
![[2_0]](ThreeCirclesProblem1_files/ThreeCirclesProblem1_0_2_0.png)
![[2_1]](ThreeCirclesProblem1_files/ThreeCirclesProblem1_0_2_1.png)
![[2_2]](ThreeCirclesProblem1_files/ThreeCirclesProblem1_0_2_2.png)