[1] Δοθέντος τριγώνου ABC, οι τριγραμμικές (συντεταγμένες) σημείου P ως προς το τρίγωνο είναι μιά τριάδα (x, y, z) αριθμών, αναλόγων προς τις αντίστοιχες αλγεβρικές αποστάσεις του P από τις πλευρές του τριγώνου BC, CA, AB.
Με τον όρο αλγεβρικές εννοώ ότι το x λαμβάνεται θετικό εάν το P και το A είναι από την ίδια πλευρά της BC και αρνητικό στην αντίθετη περίπτωση. Ανάλογες συμβάσεις ισχύουν γιά τα προσημα των y και z.
[2] Οι τριγραμμικές ορίζονται σχετικά με αυθαίρετη μη-μηδενική πολλαπλασιαστική σταθερά d. Έτσι οι (d*x, d*y, d*z) θεωρούνται ότι ορίζουν το ίδιο σημείο P με τις (x,y,z).
[3] Υπάρχουν επίσης οι απόλυτες τριγραμμικές (x0, y0, z0) που μετρούν τις πραγματικές (και πάλι αλγεβρικές) αποστάσεις του σημείου P από τις πλευρές. Αυτές ικανοποιούν την σχέση
a*x0+b*y0+c*z0 = 2*D,
όπου D είναι το εμβαδόν του τριγώνου ABC και {a,b,c} τα μήκη των πλευρών του.
[4] Γιά τον προσδιορισμό των απόλυτων τριγραμμικών από μιά τυχούσα τριάδα τριγραμμικών (x,y,z) = d*(x0,y0,z0) εφάρμοσε τον προηγούμενο τύπο
a*x+b*y+c*z = d*(2*D) ==> d = (x*a+y*b+z*c)/(2*D).
[5] Οι τριγραμμικές είναι το προβολικό σύστημα συντεταγμένων του επιπέδου, που αντιστοιχεί στην προβολική βάση {A,B,C,I}, όπου το I είναι το έκκεντρο του τριγώνου, του οποίου οι συντεταγμένες είναι (1,1,1) (και οι απόλυτες (r,r,r), όπου (r) είναι η ακτίνα του εγγεγραμμένου κύκλου).
[6] Σημεία στις πλευρές του ABC έχουν αντίστοιχη συντεταγμένη 0. Γιά παράδειγμα, το να περιέχεται το P στην ευθεία BC χαρακτηρίζεται από τριγραμμικές της μορφής (0, y, z). Οι δύο αριθμοί συνδέονται άμεσα με το πηλίκον
PB/PC = - (z/sinB)/(y/sinC) = -(z/y)*(sinC/sinB) = -(z/y)*(c/b) => z/y = -(PB/PC)*(b/c).
[7] Φέροντας παράλληλο προς την BC από το P' βλέπουμε ότι όλα τα σημεία P' της ευθείας AP χαρακτηρίζονται από την εξίσωση
z/y = - k <==> z + k*y = 0, με k = (PB/PC)*(b/c).
Έτσι η
διάμεσος από το A χαρακτηρίζεται από την (PB/PC = -1): z/y = b/c <==> b*y - c*z = 0. Ανάλογα η διχοτόμος από το A χαρακτηρίζεται από την (PB/PC = - c/b) z/y = 1 <==> z - y = 0.
[8] Εν γένει μία ευθεία L παριστάνεται σε αυτό το σύστημα συντεταγμένων από μία εξίσωση της μορφής u*x + v*y + w*z = 0, όπου τα {u,v,w} είναι σχετικά ορισμένα ως προς μη μηδενική πολλαπλασιαστική σταθερά και επίσης δεν είναι ταυτόχρονα όλα μηδέν.
[9] Οι συντελεστές {u,v,w} της ευθείας συνδέονται άμεσα με τις συντεταγμένες των σημείων τομής της ευθείας με τις πλευρές του τριγώνου αναφοράς are directly related to the coordinates of the intersection points of L with the sides of the triangle of reference: A'(0,y1,z1), B'(x2,0,z2), C'(x3,y3,0).
[10] Οι δύο τελευταίες εξισώσεις ισοδυναμούν με το θεώρημα του Μενελάου και παριστάνουν μιάν αναγκαία και ικανή συνθήκη γιά να υπάρχει μιά ευθεία L διερχόμενη από τα σημεία A'(0,y1,z1), B'(x2,0,z2), C'(x3,y3,0) επί των πλευρών του τριγώνου ABC.
Η ερμηνεία των τριγραμμικών συντεταγμένων με αναφορά στο στάνταρ μοντέλο του προβολικού επιπέδου μπορεί να δοθεί ως εξής:
[11] Στον τρισδιάστατο χώρο R3, θεώρησε το επίπεδο (E) που ορίζεται από την εξίσωση a*x+b*y+c*z = 2*D.
Κάθε ευθεία [x,y,z] του R3 διά της αρχής και μή-παράλληλη προς το (E) δηλαδή μη-πληρούσα την a*x+b*y+c*z = 0, παριστάνει ένα σημείο [X] του προβολικού επιπέδου και τέμνει το (E) στο σημείο PX = (x0,y0,z0) που ειναι οι απόλυτες τριγραμμικές του PX.
[12] Σημεία [X] = [x,y,z] με a*x+b*y+c*z = 0 παριστάνουν την ευθεία στο άπειρο. Επισυνάπτοντας τα σημεία αυτής της ευθείας στο επίπεδο (E) παίρνουμε την προβολικοποίηση του επιπέδου (E).
[13] Κάθε συνηθισμένη ευθεία L: u*x+v*y+w*z = 0 του (E) τέμνει την ευθεία στο άπειρο a*x+b*y+c*z = 0 στο σημείο (στο άπειρο), του οποίου οι συντεταγμένες δίδονται από το εξωτερικό γινόμενο:
UxF = ((v*c-w*b), (w*a-u*c), (u*b-v*a)), όπου U=(u,v,w) και F=(a,b,c).
[14] Το σημείο αυτό ορίζει την κατεύθυνση της ευθείας L και ευθείες L', L'' , ... παράλληλες της L ορίζουν το ίδιο σημείο στο άπειρο S = (c1,c2,c3) ικανοποιούν την a*x+b*y+c*z = 0. Άρα η οικογένεια όλων των ευθειών παραλλήλων προς αυτήν την κατεύθυνση ορίζεται από τις λύσεις (ως προς u,v,w) του συστήματος:
[15] Το σύστημα αυτό είναι συμβιβαστό τάξης δύο, άρα ορίζει μιά μονοπαραμετρική οικογένεια ευθειών. Τα U που παριστούν τις λύσεις ορίζουν διάνυσμα ορθογώνιο στο S, άρα γραμμικό συνδυασμό U = rF + t(FxS). Αντικαθιστώντας στην προηγούμενη εξίσωση βρίσκουμε ότι το r μπορεί να είναι αυθαίρετο και το t = (F,F)-1.
[16] Γιά ένα ειδικό σημείο P0=(x0,y0,z0) του (E) η ευθεία διά του σημείου αυτού θα ικανοποιεί
(U,P0) = ux0+vy0+zw0=0 ==> (U,P0) = r(F,P0) + t(FxS, P0)=0 ==> r = -(t/(2*D))*(FxS, P0). Άρα το U είναι μη-μηδενικό πολλαπλάσιο του [(2*D)*(FxS) - (FxS, P0)*F], όπου P0 συμβολίζουν απόλυτες συντεταγμένες.
[17] Σε απόλυτες συντεταγμένες το εσωτερικό γινομενο (F,X) = 2*D, άρα γιά τις συντεταγμένες αυτές η ευθεία (U,X) = 0 γίνεται (FxS,X-X0) = 0.
[18] Οι τριγραμμικές, όπως και κάθε σύστημα προβολικών συντεταγμένων, επιτρέπουν να γράφουμε τα σημεία του επιπέδου ως γραμμικούς συνδυασμούς P = xA+yB+zC. Τούτο είναι βολικό όταν υπολογίζουμε διπλούς λόγους κατά μήκος ευθειών, όπως λ.χ. των σημείων {Q,R,S} που ονομάζονται ίχνη του P επί των πλευρών του ABC και ορίζονται από τις σεβιανές του σημείου P. Q = yB+zC => Q' = yB - zC είναι το αρμονοικό συζυγές του Q ως προς τα {B,C}. Ανάλογα ορίζονται τα αρμονικά συζυγή R', S'. Οι τριγραμμικές των {Q',R',S'} ικανοποιούν την [9] και ορίζουν την τριγραμμική πολική του σημείου P(x0,y0,z0), που δίδεται από την εξίσωση: (y0*z0)*x+(x0*z0)*y+(x0*y0)*z=0 <==>
(x/x0) + (y/y0) + (z/z0) = 0.
[19] Ανάλογα μπορούμε να γράψουμε P = Q+xA και γιά το αρμονικό συζυγές του P ως προς τα A,Q: Px=Q-xA=(-x,y,z). Ανάλογα ορίζουμε τα αρμονικά συσχετισμένα Py, Pz του P ως προς το τρίγωνο αναφοράς.
[20] Η προηγούμενη εικόνα (που συναντάται συχνά, δες π.χ. στο Κωνικές του τριγώνου ), την οποία ο Steve Sigur σχολιάζει σαν το πιό ενδιαφέρον σχήμα της γεωμετρίας του τριγώνου, υποδεικνύει κάποιες συγγραμμικότητες.
Γιά παράδειγμα τα σημεία {C,Px,S',Py} είναι συγγραμμικά και ορίζουν μιά αρμονική τετράδα. Τούτο φαίνεται γράφοντας: Px = P-(2x)A, Py = P-(2y)B ==> Px + Py = 2P-(2x)A-(2y)B = (2z)C, άρα το C είναι στην ευθεία των {Px, Py}. Ανάλογα Px - Py = (2y)B - (2x)A = 2(yB-xA) = S' (αφού συντεταγμένες μπορούν να πολλαπλασιασθούν με μη-μηδενική σταθερά). Αυτό δείχνει ότι το S' είναι επίσης στην ευθεία των {Px,Py} και επειδή C = Px + Py και S' = Px - Py, τα δύο σημεία είναι αρμονικά συζυγή ως προς {Px, Py} (δες επίσης Προβολική Βάση ).
[21] Εύκολα επίσης αποδεικνύεται ότι η ευθεία Lp είναι η τριγραμμική πολική του P ως προς κάθε ένα από τα τρία τρίγωνα ABC, PxPyPz και QRS.
[22] Η επιλογή του εκκέντρου σαν κεντρικό σημείο (ή συντονιστή) του προβολικού συστήματος συντεταγμένων ενπεριέχει μιάν αυθαιρεσία αλλά είναι χρήσιμη στην απόδειξη ιδιοτήτων των λεγομένων κέντρων τριγώνου. Κάθε σημείο του επιπέδου, μη περιεχόμενο στις πλευρές του τριγώνου αναφοράς, θα μπορούσε να ορισθεί ως συντονιστής και να ορίσει ένα αντίστοιχο σύστημα γενικευμένων τριγραμμικών συντεταγμένων. Μιά άλλη συνήθης επίλογή συντονιστή, γιά παράδειγμα, είναι αυτή του κέντρου βάρους του τριγώνου, που ορίζει το αντίστοιχο σύστημα προβολικών βαρυκεντρικών συντεταγμένων.
[23] Επιλέγοντας δύο τέτοια συστήματα {A,B,C,D} και {A',B',C',D'} όπου το D (αντίστοιχα D') παίζει τον ρόλο του συντονιστή (δηλ. D = A+B+C, αντίστοιχα D' = A'+B'+C'), οι αντίστοιχες συντεταγμένες ως προς τα δύο συστήματα συνδέονται με σχέση της μορφής X' = MX, ο πίνακας M όντας αντιστρέψιμος και έχων ως στήλες τις συντεταγμένες των {A,B,C} ως προς το σύστημα {A',B',C'}. Ειδικά, αν A=A', B=B', C=C' αλλά διαφέρουν τα D, D' τότε ο πίνακας Μ είναι διαγώνιος, με διαγώνια στοιχεία τις συντεταγμένες του D ως προς το σύστημα {A',B',C'}.
[24] Γιά παράδειγμα, η σχέση μεταξύ βαρυκεντρικών συντεταγμένων (X=(x,y,z)) και κλασικών τριγραμμικών (X'=(x',y',z')), όπως αυτές ορίζονται στο [1], είναι
X' = (x/a, y/b, z/c), διότι (1/a, 1/b, 1/c) είναι οι τριγραμμικές του κέντρου βάρους.
Γενικώτερα επιλέγοντας συντονιστή D του οποίου οι τριγραμμικές είναι (d1,d2,d3), το αντίστοιχο σύστημα συντεταγμένων (x,y,z) συνδέεται με το συνηθισμένο των τριγραμμικών (X'=(x',y',z')) μέσω της X'=(d1*x, d2*y, d3*z) και φυσικά x = x'/d1, y = y'/d2, z = z'/d3.
Μιά ευθεία με εξίσωση px+qy+rz=0, έχει σε τριγραμμικές συντεταγμένες εξίσωση (p/d1)x'+(q/d2)y'+(r/d3)z'=0.
Μιά κωνική με εξίσωση pyz+qzx+rxy=0, έχει σε τριγραμμικές εξίσωση (pd1)y'z'+(qd2)z'x'+(rd3)x'y'=0.
[25] Ειδικά, η ευθεία στο άπειρο υπολογίζεται εύκολα σε βαρυκεντρικές ότι έχει την εξίσωση x+y+z=0.
Έπεται, ότι στις συνήθεις τριγραμμικές έχει την εξίσωση ax'+by'+cz'=0, και σε γενικώτερα συστήματα (δες Γενικευμένη Ισογωνιότητα ) με συντονιστή D (=(d1,d2,d3) ως προς τις συνήθεις τριγραμμικές) έχει την εξίσωση (a*d1)x + (b*d2)y + (c*d3)z = 0.
Ο κύκλος, ο οποίος στο σύστημα με συντονιστή D ταυτιζόμενο με το συμετροδιάμεσο σημείο έχει εξίσωση yz+zx+xy=0, στις τριγραμμικές έχει εξίσωση ay'z'+bz'x'+cx'y'=0 και στις βαρυκεντρικές a2yz+b2zx+c2xy=0.
![[alogo]](alogo.png){kind=small}
Τριγραμμικές συντεταγμένες ![[0_0]](Trilinears_files/Trilinears_0_0_0.png)
![[0_1]](Trilinears_files/Trilinears_0_0_1.png)
![[0_2]](Trilinears_files/Trilinears_0_0_2.png)
![[0_3]](Trilinears_files/Trilinears_0_0_3.png)
![[0_0]](Trilinears_files/Trilinears_1_0_0.png)
![[0_1]](Trilinears_files/Trilinears_1_0_1.png)
![[0_0]](Trilinears_files/Trilinears_2_0_0.png)
![[0_1]](Trilinears_files/Trilinears_2_0_1.png)
![[0_2]](Trilinears_files/Trilinears_2_0_2.png)
![[0_0]](Trilinears_files/Trilinears_3_0_0.png)
![[0_0]](Trilinears_files/Trilinears_4_0_0.png)
![[0_1]](Trilinears_files/Trilinears_4_0_1.png)
![[0_2]](Trilinears_files/Trilinears_4_0_2.png)
![[1_0]](Trilinears_files/Trilinears_4_1_0.png)
![[1_1]](Trilinears_files/Trilinears_4_1_1.png)
![[1_2]](Trilinears_files/Trilinears_4_1_2.png)
![[0_0]](Trilinears_files/Trilinears_5_0_0.png)
![[0_1]](Trilinears_files/Trilinears_5_0_1.png)