TripolarInverse

1. Πρόβλημα

Δίδεται ζεύγος (P, L) σημείου και ευθείας μη-περιεχούσης αυτό. Δίδεται και τρίγωνο ABC. Το ζεύγος (P,L) ορίζει αρμονική προοπτικότητα F και μέσω αυτής ορίζεται η εικόνα του τριγώνου A*B*C* = F(ABC). Υπάρχει μιά κωνική (c) διερχόμενη και από τις έξι κορυφές των δύο τριγώνων. Πότε είναι το P προόπτης αυτής της κωνικής;

Κατ' αρχήν ότι υπάρχει κωνική (c) διερχόμενη διά των έξι κορυφών είναι συνέπεια του ότι τα τρίγωνα είναι εξ' ορισμού σημειακά προοπτικά ως προς P άρα, κατά Desargues, και ευθειακά προοπτικά. Τούτο έχει συνέπεια το εξάγωνο AB*C*A*BC να έχει ζεύγη απέναντι πλευρών τεμνόμενα σε συνευθειακά σημεία, άρα, κατά Pascal, υπάρχει κωνική διερχομενη από τις κορυφές του.
Όσον αφορά το πρόβλημα υπάρχουν πολλές απαντήσεις. Μιά που προκύπτει αμέσως από την συζήτηση στο Τριπολικές Ισοπλεύρου (4.4) είναι η εξής: Αναγκαία και ικανή συνθήκη γιά να συμβαίνει αυτό είναι οι τριπολικές και των δύο τριγώνων ως προς το P να συμπίπτουν με την L.
Από την προηγούμενη αναφορά (4.4) προκύπτει το αναγκαίο. Γιά το ικανό κατ' αρχήν να σημειώσω ότι αρκεί η μία μόνο τριπολική, π.χ. του P ως προς το ABC, να ταυτίζεται με την L. Αν συμβαίνει αυτό τότε και η άλλη τριπολική ταυτίζεται με την L, αφού αυτή είναι η F(L) και F(L)=L, καθώς η L αποτελείται από σταθερά σημεία ως προς F.
Άν λοιπόν η τριγραμμική πολική του P ως προς ABC ταυτίζεται με την L, τότε κατασκευάζουμε την κωνική (c') την περιγεγραμμένη του ABC με προόπτη το P. Τότε η απεικόνιση F αφήνει και την (c') αναλλοίωτο, επομένως η (c') διέρχεται και από τις κορυφές του A*B*C*. Οι δύο κωνικές έχοντας κοινά σημεία περισσότερα από τέσσαρα συμπίπτουν. Το συμπέρασμα μπορεί να διατυπωθεί λοιπόν ως εξής:

Θεώρημα Δίδεται τρίγωνο ABC και ζεύγος (L, P) ευθείας και σημείου μη περιεχομένου στις πλευρές του τριγώνου και την L. Το ζεύγος (L,P) ορίζει αρμονική προοπτικότητα F, τρίγωνο A*B*C* = F(ABC) και κωνική (c) διερχόμενη από τις κορυφές των δύο τριγώνων. Η κωνική (c) έχει προόπτη το P ως προς το ABC, τότε και μόνον τότε όταν η L είναι η τριγραμμική πολική του P ως προς ABC.

2. Σχόλια

Σύμφωνα με τα προηγούμενα (δες Τριπολικές Ισοπλεύρου ), οι τριγραμμικές πολικές L_D ως προς το ABC των σημείων D της κωνικής θα διέρχονται από τον προόπτη P' της κωνικής ως προς το ABC. Ανάλογα οι τριγραμμικές πολικές του D ως προς το τρίγωνο A*B*C* θα διέρχονται από τον προόπτη P'' της κωνικής ως προς A*B*C*. Προφανώς θα ισχύει P'' = F(P).

3. Γενίκευση ιδιότητας τριγραμμικών πολικών

Δίδεται, όπως και προηγουμένως, ζεύγος (P, L) σημείου και ευθείας μη-περιεχούσης αυτό. Δίδεται και τρίγωνο ABC. Το ζεύγος (P,L) ορίζει αρμονική προοπτικότητα F και μέσω αυτής ορίζεται η εικόνα του τριγώνου A*B*C* = F(ABC). Υπάρχει μιά κωνική (c) διερχόμενη και από τις έξι κορυφές των δύο τριγώνων.
Θεωρούμε τυχούσα ευθεία E διερχόμενη διά του P και τις τομές της {B',C'} με τις πλευρές {A*C*, B*A*} αντίστοιχα. Οι ευθείες {BB', CC'} τέμνονται σε σημείο D της κωνικής (c).

Η απόδειξη της ιδιότητας αυτής προκύπτει εφαρμόζοντας το θεώρημα του Maclaurin (δες Θεώρημα του Maclaurin ) στο μεταβαλλόμενο τρίγωνο B'C'D (ανάλογα με την θέση της E). Πράγματι, αυτό το τρίγωνο έχει πλευρές που διέρχονται από τρία σταθερά σημεία: η B'C' από το P, η C'D από το C, η DB' από το B και οι δύο κορυφές του {B',C'} κινούνται αντίστοιχα στις σταθερές ευθείες {A*C*, A*B*}, άρα, κατά Maclaurin, η τρίτη κορυφή του D, θα κινήται επί κωνικής (c') διερχομένης από τα σημεία {A*, B, C} καθώς και τις τομές των ευθειών {A*C*, PC} που είναι το C* και των {A*B*, PB} που είναι το B*. Επειδή τα πέντε αυτά σημεία είναι και στην (c) οι δύο κωνικές θα ταυτίζονται.

Ανάλογα αποδεικνύεται ότι και οι ευθείες {A'A, B'B} τέμνονται επί της κωνικής (c). Συνεπώς οι τρείς ευθείες {A'A, B'B, C'C} συντρέχουν στο ίδιο σημείο D της κωνικής.

Θεώρημα Υπό τις υποθέσεις που τέθηκαν στην αρχή και γιά κάθε ευθεία E διερχόμενη διά του P και τέμνουσα τις πλευρές {B*C*, C*A*, A*B*} του A*B*C* στα σημεία {A', B', C'} αντίστοιχα, οι ευθείες {AA', BB', CC'} συντρέχουν σε σημείο D της κωνικής.
Και αντίστροφα, γιά κάθε σημείο D της κωνικής οι ευθείες {DA, DB, DC} τέμνουν τις πλευρές {B*C*, C*A*, A*B*} του A*B*C* σε σημεία {A', B', C'} αντίστοιχα, τα οποία περιέχονται σε ευθεία E διερχόμενη διά του P.

Το πρώτο μέρος αποδείχθηκε παραπάνω. Το αντίστροφο προκύπτει εύκολα χρησιμοποιώντας το πρώτο μέρος της απόδειξης. Προς τούτο, θεώρησε την ευθεία E που ορίζεται από το C' και το P. Έστω B'' το σημείο τομής της με την A*C*. Κατά το πρώτο μέρος της απόδειξης η B''B θα διέρχεται από το D. Άρα το B'' θα συμπίπτει με το B'. Παρόμοια δείχνουμε ότι και το A' θα περιέχεται στην E.

4. Αναγωγή στο θεώρημα Pascal

Το θεώρημα μπορεί να αναχθεί σε αυτό του Pascal γιά εξάγωνα εγγεγραμμένα σε κωνική ξεκινώντας από την εξής περίπτωση.
Δίδεται τετράπλευρο ABCD εγγεγραμμένο σε κωνική και δύο σημεία {X,Y}. Τα ζεύγη ευθειών (AY,DX), (BY,CX) και (AC,BD) τέμνονται αντίστοιχα σε σημεία {Z, Z', O} κείμενα επ' ευθείας (εφαρμογή Pascal στο εξάγωνο CXDBYA).

5. Εναλλακτική παραγωγή κωνικής

Γιά κάθε κωνική (c), τρίγωνο ABC εγγεγραμμένο σε αυτήν και σημείο P μή-κείμενο επί της κωνικής και των πλευρών του τριγώνου ορίζεται ένας εναλλακτικός τρόπος περιγραφής της κωνικής μέσω των ευθειών που διέρχονται διά του P. Στην περίπτωση που το P είναι ο προόπτης της κωνικής (c) ως προς το τρίγωνο η περιγραφή συμπίπτει με αυτήν μέσω των τριγραμμικών πόλων ως προς ABC που αντιστοιχούν σε ευθείες διερχόμενες διά του P (δες Τριπολικές Ισοπλεύρου ).

Η διαδικασία περιέχεται στην προηγούμενη συζήτηση. Την επαναλαμβάνω:
Γιά κάθε ευθεία (e) διά του P θεώρησε τα σημεία τομής {A',B',C'} των {PA, PB, PC} αντίστοιχα με τις πλευρές {B*C*, C*A*, A*B*} του τριγώνου A*B*C* που προκύπτει από τα δεύτερα σημεία τομής των {PA, PB, PC} με την κωνική. Οι ευθείες {AA', BB', CC'} τέμνονται σε σημείο D της κωνικής.
Παρατήρηση Καθώς λοιπόν η ευθεία (e) περιστρέφεται περί το P το αντίστοιχο σημείο D διαγράφει την κωνική (c) και έχουμε μιά γενίκευση του τρόπου παραγωγής της κωνικής, μέσω των ορθοπόλων ευθειών διερχομένων διά του προόπτη της, στην οποία ο προόπτης της κωνικής αντικαθίσταται με ένα αυθαίρετο σημείο του επιπέδου.

Δείτε ακόμη

Τριπολικές Ισοπλεύρου
Θεώρημα του Maclaurin
Θεώρημα του Pascal
Κωνικές του τριγώνου

Επιστροφή στο Γεωμετρικόν

http://users.math.uoc.gr/~pamfilos/