EquilateralTripolars

1. Τριγραμμική πολική στο ισόπλευρο διά του κέντρου

Γιά κάθε σημείο του περικύκλου ισοπλεύρου η τριγραμμική πολική του διέρχεται από το κέντρο του και αντίστροφα, κάθε τριγραμμική πολική διερχόμενη από το κέντρο του έχει αντίστοιχο πόλο στον περίκυκλό του.

Έστω ότι το σημείο D είναι επί του περικύκλου και ότι η τριγραμμική πολική του d τέμνει τις πλευρές αντίστοιχα στα σημεία {A', B', C'}. Έστω και C'' η τομή της DC με την ΑΒ. Επειδή εξ' υποθέσεως η διαίρεση (A,B,C',C'')=-1 είναι αρμονική και η DC είναι διχοτόμος της γωνίας ADB και η DC' θα είναι επίσης διχοτόμος και κάθετη στο DC (δες Αρμονική δέσμη ). Συνεπώς θα διέρχεται από το αντιδιαμετρικό C* του C. Ανάλογα θα ισχύουν και γιά τις ευθείες {DA', DB'}. Συνολικά στο D οι ευθείες θα σχηματίζουν ανά δύο γωνίες π/6.
Έστω H το σημείο τομής της B'D με την AB και F το σημείο τομής της A'D με την BC. Τα σημεία {H, B} είναι αρμονικά συζυγή των {F,C'} διότι στο τρίγωνο FDC' οι {DB, DH} είναι διχοτόμοι. Το τετράπλευρο HDBA' είναι εγγράψιμο διότι η γωνία του HDA' είναι ίση με π/3 και ίση με την ABC. Επειδή η HDB είναι ορθή και η απέναντί της HA'B θα είναι ορθή. Λόγω της αρμονικής διαίρεσης (H, B, F, C')=-1 και της καθετότητας στο A' οι {A'H, A'B} θα είναι διχοτόμοι της γωνίας DA'C'. Άρα το B θα είναι το σημείο τομής των διχοτόμων του τριγώνου A'DC'. Άρα η C'A' θα είναι ίσον κεκλιμένη προς την ΑΒ με την C'D, δηλαδή συμμετρική ως προς AB. Επειδή η DC' διέρχεται από το C* η συμμετρική της θα διέρχεται από το κέντρο O του περίκυκλου.

Παρατήρηση Από το ότι η A'B είναι διχοτόμος της γωνίας DA'C' προκύπτει ότι τα συμμετρικά του D ως προς τις πλευρές του τριγώνου ABC περιέχονται στην (d). Άρα η τελευταία συμπίπτει με την ευθεία Steiner του σημείου D ως προς το τρίγωνο ABC (δες Ευθεία του Steiner ).

Το ότι κάθε ευθεία διά του κέντρου (d) είναι τριγραμμική πολική σημείου D του περικύκλου προκύπτει από την τελευταία παρατήρηση. Πράγματι, γιά την δοθείσα (d) παίρνουμε ως D το σημείο γιά το οποίο η (d) συμπίπτει με την αντίστοιχη ευθεία Steiner (τούτο ευρίσκεται εύκολα παίρνοντας τις κατοπτρικές των πλευρών ως προς την (d), οι οποίες διέρχονται όλες διά του D). Από τα προηγηθέντα έπεται ότι η τριγραμμική πολική του D θα ταυτίζεται με την (d).

2. Πόρισμα

Έστω ισόπλευρο τρίγωνο ABC και {Α*, B*, C*} τα αντιδιαμετρικά των κορυφών του ως προς τον περίκυκλό του. Γιά κάθε σημείο D του περικύκλου αυτού οι ευθείες {DA*, DB*, DC*} τέμνουν τις πλευρές αντίστοιχα {BC, CA, AB} σε σημεία {A', B', C'} κείμενα επ' ευθείας L διερχομένης διά του κέντρου του κύκλου. Η ευθεία αυτή είναι η τριγραμμική πολική του σημείου D ως προς το τρίγωνο ABC.

Η απόδειξη εμπεριέχεται σε αυτήν της προηγουμένης παραγράφου.

3. Προβολική γενίκευση

Έστω τρίγωνο ABC και κωνική (c) περιγεγραμμένη περί αυτό με προόπτη P. Έστω ότι {Α*, B*, C*} είναι τα δεύτερα σημεία τομής των ευθειών {PA, PB, PC} με την κωνική . Γιά κάθε σημείο D της κωνικής (c) οι ευθείες {DA*, DB*, DC*} τέμνουν τις πλευρές αντίστοιχα {BC, CA, AB} σε σημεία {A', B', C'} κείμενα επ' ευθείας L διερχομένης διά του P. Η ευθεία αυτή είναι η τριγραμμική πολική του σημείου D ως προς το τρίγωνο ABC.

Η απόδειξη προκύπτει από το πόρισμα μέσω μιάς προβολικότητας που απεικονίζει το ισόπλευρο στο δοθέν τρίγωνο ABC. Πράγματι, κατά τις στοιχειώδεις ιδιότητες των προβολικοτήτων υπάρχει μιά μοναδική προβολικότητα F που απεικονίζει τις κορυφές {A₀, B₀, C₀} του ισοπλεύρου στις κορυφές {A,B,C} και το κέντρο του ισοπλεύρου στο σημείο P. Η απεικόνιση αυτή απεικονίζει επίσης τον περίκυκλο του ισοπλεύρου σε μιά κωνική (c) με προοπτη το σημείο P. Επειδή η τριγραμμική πολική είναι προβολική αναλλοίωτος, η F θα απεικονίζει την τριγραμμική πολική ενός σημείου D₀ του περικύκλου του ισοπλεύρου στην τριγραμμική πολική σημείου D της κωνικής (c). Τα υπόλοιπα προκύπτουν από τα αντίστοιχα ισχύοντα γιά ισόπλευρα εφαρμόζοντας την F στις κατάλληλες ευθείες και σημεία.

4. Παρατηρήσεις και σχόλια

[1] Ο προόπτης P της κωνικής (c) είναι η τομή δύο διαφορετικών τριγραμμικών πολικών ως προς σημεία της (c).
[2] Στο προηγούμενο σχήμα σταθεροποιώ τα σημεία {A,B,C,D} και θεωρώ όλες τις κωνικές που διέρχονται από αυτά. Οι προόπτες P των αντιστοίχων κωνικών, θεωρουμένων ως περιγεγραμμένων του τριγώνου ABC, κινούνται επί της τριγραμμικής πολικής του D ως προς το ABC.
[3] Το συγκεκριμένο μέλος της οικογενείας κωνικών διά των σημείων {A,B,C,D} καθορίζεται ισοδύναμα είτε από την θέση του προόπτη P πάνω στην τριγραμμική πολική του D είτε από ένα σημείο όπως το B* επί της ευθείας DB'.
[4] Τα τρίγωνα A*B*C* είναι σημειακά προοπτικά με το ABC ως προς P. Ο αντίστοιχος άξονας προοπτικότητας είναι η πολική L_P του P ως προς την κωνική. Επί της ευθείας αυτής τέμνονται αντίστοιχες πλευρές των τριγώνων ABC και A*B*C*. Η L_P είναι τριγραμμική πολική του P και ως προς τα δύο αυτά τρίγωνα.
[5] Τα δύο αυτά τρίγωνα εναλλάσσονται μέσω της αρμονικής προοπτικότητας H_P με κέντρο το P και άξονα την πολική του L_P ως προς την κωνική. Η H_P αντιστοιχεί στην αντιδιαμετρικότητα του κύκλου. Η κωνική είναι αναλλοίωτη ως προς αυτήν. Κάθε σημείο της D απεικονίζεται στο D*=H_P(D), που είναι το άλλο σημείο τομής της κωνικής με την ευθεία DP.
[6] Λόγω της συμμετρικότητάς των σχέσεων το P είναι και προόπτης της κωνικής (c) ως προς το A*B*C*. Επίσης η τριγραμμική πολική του D*=H_P(D) ως προς το A*B*C* είναι η ίδια με την τριγραμμική πολική του D ως προς το ABC.
[7] Υπάρχει ένα είδος αντίστροφης κατασκευής του τελευταίου σχήματος που ξεκινά από ένα αυθαίρετο ζεύγος ευθειας + σημείου (L_P, P) και ένα τρίγωνο ABC. Χρησιμοποιώντας την αρμονική προοπτικότητα F που ορίζεται από το ζεύγος και το τρίγωνο εικόνα A*B*C* = F(ABC) αναπαράγεται μιά παρόμοια εικόνα με την προηγούμενη όμως κάπως γενικώτερη. Το θέμα εξετάζεται στο αρχείο Αντίστροφη τριπολική .

Δείτε ακόμη

Αρμονική δέσμη
Αντίστροφη τριπολική
Ευθεία του Steiner
Τριγραμμική πολική
Κωνικές τριγώνου

Επιστροφή στο Γεωμετρικόν

http://users.math.uoc.gr/~pamfilos/