Συναρτησιακή Ανάλυση
Εαρινό Εξάμηνο 2021
Διδάσκων: Νίκος Φραντζικινάκης.
E-mail: frantzikinakis@gmail.com.
Bασικό Σύγγραμμα: Σημειώσεις Απόστολου Γιαννόπουλου
εδώ.
Βοηθητικό Σύγγραμμα: Βασικές έννοιες μετρικών χώρων. Σημειώσεις Θεμιστοκλή Μήτση
εδώ.
Γραφείο: Γ307.
Ώρες γραφείου: Τρίτη 12:00-2:00 (με zoom στείλτε μου email για το link).
Ύλη: Επανάληψη βασικών εννοιών μετρικών χώρων και βασικά παραδείγματα,
πλήρεις μετρικοί χώροι, το θεώρημα Baire και εφαρμογές, χώροι με νόρμα και παραδείγματα,
χώροι Banach και σύγκλιση σειρών, χώροι πεπερασμένοι διάστασης,
φραγμένοι τελεστές και συναρτησοειδή, παραδείγματα, χώροι Hilbert, προβολές και ορθογώνιο συμπλήρωμα, ορθοκανονικές βάσεις, θεώρημα αναπαράστασης του Riesz, το θεώρημα Hahn-Banach, διαχωριστικά θεωρήματα,
θεώρημα ομοιόμορφου φράγματος και εφαρμογές
(κομμάτια από από τα Kεφάλαια 1-8 από το βασικό σύγγραμμα).
Βαθμολογία: Ένα τελικό διαγώνισμα.
Βιντεοσκοπημένα Μαθήματα
8/2: Tα βιντεοσκοπημένα μαθήματα της 1ης εβδομάδας βρίσκονται εδώ.
16/2: Tα βιντεοσκοπημένα μαθήματα της 2ης εβδομάδας βρίσκονται εδώ.
23/2: Tα βιντεοσκοπημένα μαθήματα της 3ης εβδομάδας βρίσκονται εδώ.
3/3: Tα βιντεοσκοπημένα μαθήματα της 4ης εβδομάδας βρίσκονται εδώ.
9/3: Tα βιντεοσκοπημένα μαθήματα της 5ης εβδομάδας βρίσκονται εδώ.
17/3: Tα βιντεοσκοπημένα μαθήματα της 6ης εβδομάδας βρίσκονται εδώ.
24/3: Tα βιντεοσκοπημένα μαθήματα της 7ης εβδομάδας βρίσκονται εδώ.
31/3: Tα βιντεοσκοπημένα μαθήματα της 8ης εβδομάδας βρίσκονται εδώ.
7/4: Tα βιντεοσκοπημένα μαθήματα της 9ης εβδομάδας βρίσκονται εδώ.
14/4:
Tα βιντεοσκοπημένα μαθήματα της 10ης εβδομάδας βρίσκονται εδώ.
21/4: Tα βιντεοσκοπημένα μαθήματα της 11ης εβδομάδας βρίσκονται εδώ.
12/5: Tα βιντεοσκοπημένα μαθήματα της 12ης εβδομάδας βρίσκονται εδώ.
19/5: Tα βιντεοσκοπημένα μαθήματα της 13ης εβδομάδας βρίσκονται εδώ.
Ανακοινώσεις
22/1: Η παρουσίαση της ύλης θα γίνεται με βιντεοσκοπημένες διαλέξεις τις οποίες θα αναρτώ
σε εβδομαδιαία βάση.
6/5: Το τελικό διαγώνισμα θα πραγματοποιηθεί διαδικτυακά (με Ζoom) την Τρίτη 1 Ιουνίου
9:00-11:30. Όλα τα θέματα θα είναι ανάπτυξης. Η εξεταστέα ύλη περιλαμβάνει όλες τις ενότητες
που θα καλύψουμε στις 13 εβδομάδες βιντεοσκοπημένων μαθημάτων.
Όσοι βαθμολογηθούν με βαθμό μεγαλύτερο του 4.5 θα
εξεταστούν και προφορικά σε ημερομηνία που θα οριστεί αργότερα.
7/5:
Παρακαλώ δηλώστε συμμετοχή στην εξέταση
στέλνοντας μου email μέχρι την Tρίτη 25 Μαϊου. Όσοι δηλώσετε συμμετοχή θα λάβετε
επιπλέον πληροφορίες για την εξέταση προς το τέλος του μήνα.
1/6: Tα θέματα τoυ τελικού διαγωνίσματος είναι εδώ.
Oι τελικοί σας βαθμοί είναι εδώ.
8/9: Το διαγώνισμα της εξεταστικής του Σεπτέμβρη
θα πραγματοποιηθεί με φυσική παρουσία την Τετάρτη 15 Σεπτεμβρίου
ώρα 9:00-11:00 στην αίθουσα E212.
17/9: Τα θέματα του διαγωνίσματος της εξεταστικής του Σεπτέμβρη είναι εδώ. Oι τελικοί βαθμοί είναι εδώ.
Ημερολόγιο Μαθήματος και Προτεινόμενες Ασκήσεις
1η Εβδομάδα (8-14 Φεβρουαρίου): Ορισμός και παραδείγματα μετρικών στον R^d, σε χώρους ακολουθιών, και χώρους συναρτήσεων, διακριτή μετρική, σύγκλιση ακολουθιών σε μετρικούς χώρους και παραδείγματα, οριακά σημεία και σημεία συσσώρευσης, κλειστά σύνολα και κλειστότητα συνόλου, ανοιχτά σύνολα, εσωτερικό, σύνορο, συνεχείς συναρτήσεις, ακολουθιακός ορισμός συνέχειας, οι συνεχείς αντριστρέφουν ανοιχτά σε ανοιχτά και κλειστά σε κλειστά.
Σελίδες 5-20 από τις σημειώσεις Μήτση
εδώ. Βίντεο
2η Εβδομάδα (15-21 Φεβρουαρίου): Συμπάγεια, συμπάγεια στον R^d, συνέχεια και συμπάγεια,
πληρότητα, πληρότητα στον R^d, ανισότητες Holder και Minkowski, μονοτονία p-νόρμας.
Σελίδες 23-31 από τις σημειώσεις Μήτση
εδώ και
μέρος από την παράγραφο 1.2, 2.1 από το κύριο σύγγραμμα.
Προτεινόμενες ασκήσεις από το κύριο σύγγραμμα, σελίδες 13-14: 1, 3, 7, 8, 9, 11, 12, 18, 19. Βίντεο
3η Εβδομάδα (22-28 Φεβρουαρίου): Bασικά παραδείγματα μετρικών χώρων άπειρης διάστασης,
χώροι ακολουθιών και συναρτήσεων, διαχωρισιμότητα, πληρότητα, και συμπάγεια βασικών παραδειγμάτων.
Μέρος από τις παραγράφους 1.2, 1.3 από το κύριο σύγγραμμα.
Προτεινόμενες ασκήσεις από το κύριο σύγγραμμα, σελίδες 13-14: 13, 14, 15, 16,
σελίδες 36-37: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8. Βίντεο
4η Εβδομάδα (1-7 Μαρτίου):
Το
θεώρημα του Baire, ισοδύναμες μορφές του, απόδειξη και εφαρμογές στην ανάλυση. Μέρος από τις παραγράφους 2.2, 2.4 από το κύριο σύγγραμμα.
Προτεινόμενες ασκήσεις από το κύριο σύγγραμμα,
σελίδες 36-37: 11, 12, 13, 14, 15, 16. Βίντεο
5η Εβδομάδα (8-14 Μαρτίου): Επιπλέον εφαρμογές του θεωρήματος Baire, γραμμικοί χώροι, χώροι με νόρμα, χώροι Banach, παραδείγματα, σύγκλιση σειρών σε χώρους Banach,
βάσεις Hamel και βασικές ιδιότητες.
Μέρος από τις παραγράφους 3.1, 3.2, 3.3 από το κύριο σύγγραμμα.
Προτεινόμενες ασκήσεις από το κύριο σύγγραμμα,
σελίδες 52-53: 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9, 11. Βίντεο
6η Εβδομάδα (15-21 Μαρτίου): Βάσεις Schauder, παραδείγματα βάσεων Schauder,
βασικές ιδιότητες χώρων πεπερασμένης διάστασης, ισοδυναμία νορμών,
πληρότητα, συμπάγεια μοναδιαίας μπάλας, μη συμπάγεια μοναδιαίας μπάλας σε απειροδιάστατους χώρους,
Μέρος από τις παραγράφους 3.3, 4.1, 4.2, από το κύριο σύγγραμμα.
Προτεινόμενες ασκήσεις από το κύριο σύγγραμμα,
σελίδες 53: 10, 12, 13, σελίδες 65-66: 1, 2, 3, 4, 5.
Βίντεο
7η Εβδομάδα (22-28 Μαρτίου):
Γραμμικοί τελεστές, φραγμένοι γραμμικοί τελεστές και ισοδυναμία με συνέχεια, παραδείγματα φραγμένων και μη φραγμένων γραμμικών τελεστών σε απειροδιάστατους χώρους, γραμμικά συναρτησοειδή.
Μέρος από τις παραγράφους 4.1, 4.2, 5.1 από το κύριο σύγγραμμα.
Προτεινόμενες ασκήσεις από το κύριο σύγγραμμα,
σελίδες 81-82: 1, 2, 5, 6, 7, 9, 13.
Βίντεο
8η Εβδομάδα (29 Mαρτίου-4 Απριλίου):
Δυικοί χώροι, πληρότητα, ισομετρικοί ισομορφισμοί, βασικά παραδείγματα δυϊκών χώρων.
Μέρος από τις παραγράφους 5.2, 5.3 από το κύριο σύγγραμμα.
Προτεινόμενες ασκήσεις από το κύριο σύγγραμμα,
σελίδες 81-82: 3, 4, 8, 10, 11, 12. Βίντεο
9η Εβδομάδα (5-11 Απριλίου): Ασκήσεις από προόδους.
Χώροι με εσωτερικό γινόμενο, παραδείγματα, καθετότητα, ορθοκανονικά σύνολα, μέθοδος ορθοκανικοποίησης Grahm-Schmidt, προβολές σε χώρους
πεπερασμένης διάστασης, ανισότητα
Bessel. Μέρος από τις παραγράφους 6.1, 6.2 από το κύριο σύγγραμμα.
Προτεινόμενες ασκήσεις από το κύριο σύγγραμμα,
σελίδες 98-99: 1, 2, 3, 4, 5, 12. Βίντεο
10η Εβδομάδα (12-18 Απριλίου):
Θεώρημα αναπαράστασης του Riesz, ορθοκανονικές βάσεις,
ταυτότητα Parseval, συντελεστές Fourier, εφαρμογές,
Μέρος από τις παραγράφους 6.3, 6.4, 6.5 από το κύριο σύγγραμμα.
Προτεινόμενες ασκήσεις από το κύριο σύγγραμμα,
σελίδες 98-100: 9, 10, 13, 14, 15, 16, 17, 18. Βίντεο
11η Εβδομάδα (19-25 Απριλίου): Λήμμα του Zorn, ύπαρξη βάσης Hamel,
επέκτασεις γραμμικών συναρτησοειδών, θεώρημα Hahn-Banach.
Μέρος από τις παραγράφους 7.1, 7.2 από το κύριο σύγγραμμα.
Προτεινόμενες ασκήσεις από το κύριο σύγγραμμα,
σελίδες 119-120: 1-8. Βίντεο
12η Εβδομάδα (8-14 Μαϊου): Εφαρμογές θεωρήματος Hahn-Banach, Banach limits, πεπερασμένα προσθετικά μέτρα, θεωρία προσέγγισης.
Μέρος από τις παραγράφους 7.2, 7.3 (α) και (γ) από το κύριο σύγγραμμα.
Προτεινόμενες ασκήσεις από το κύριο σύγγραμμα,
σελίδες 119-120: 4, 5, 8, 11. Βίντεο
13η Εβδομάδα (15-21 Μαϊου): Αρχή ομοιόμορφου φράγματος και εφαρμογές, αποκλίνουσες σειρές Fourier, επαναληπτικές ασκήσεις.
Μέρος από την παράγραφο 8.1 από το κύριο σύγγραμμα.
Προτεινόμενες ασκήσεις από το κύριο σύγγραμμα,
σελίδες 133-134: 1, 2, 3, 4, 5, 6. Βίντεο