Συναρτησιακή Ανάλυση

Εαρινό Εξάμηνο 2021

Διδάσκων: Νίκος Φραντζικινάκης.

E-mail: frantzikinakis@gmail.com.


Bασικό Σύγγραμμα: Σημειώσεις Απόστολου Γιαννόπουλου εδώ.

Βοηθητικό Σύγγραμμα: Βασικές έννοιες μετρικών χώρων. Σημειώσεις Θεμιστοκλή Μήτση εδώ.

Γραφείο: Γ307.

Ώρες γραφείου: Τρίτη 12:00-2:00 (με zoom στείλτε μου email για το link).

Ύλη: Επανάληψη βασικών εννοιών μετρικών χώρων και βασικά παραδείγματα, πλήρεις μετρικοί χώροι, το θεώρημα Baire και εφαρμογές, χώροι με νόρμα και παραδείγματα, χώροι Banach και σύγκλιση σειρών, χώροι πεπερασμένοι διάστασης, φραγμένοι τελεστές και συναρτησοειδή, παραδείγματα, χώροι Hilbert, προβολές και ορθογώνιο συμπλήρωμα, ορθοκανονικές βάσεις, θεώρημα αναπαράστασης του Riesz, το θεώρημα Hahn-Banach, διαχωριστικά θεωρήματα, θεώρημα ομοιόμορφου φράγματος και εφαρμογές (κομμάτια από από τα Kεφάλαια 1-8 από το βασικό σύγγραμμα).

Βαθμολογία: Ένα τελικό διαγώνισμα.


Ανακοινώσεις

22/1: Η παρουσίαση της ύλης θα γίνεται με βιντεοσκοπημένες διαλέξεις τις οποίες θα αναρτώ σε εβδομαδιαία βάση.

8/2: Tα βιντεοσκοπημένα μαθήματα της 1ης εβδομάδας βρίσκονται εδώ.

16/2: Tα βιντεοσκοπημένα μαθήματα της 2ης εβδομάδας βρίσκονται εδώ.

23/2: Tα βιντεοσκοπημένα μαθήματα της 3ης εβδομάδας βρίσκονται εδώ.

3/3: Tα βιντεοσκοπημένα μαθήματα της 4ης εβδομάδας βρίσκονται εδώ.


Ημερολόγιο Μαθήματος και Προτεινόμενες Ασκήσεις

1η Εβδομάδα (8-14 Φεβρουαρίου): Ορισμός και παραδείγματα μετρικών στον R^d, σε χώρους ακολουθιών, και χώρους συναρτήσεων, διακριτή μετρική, σύγκλιση ακολουθιών σε μετρικούς χώρους και παραδείγματα, οριακά σημεία και σημεία συσσώρευσης, κλειστά σύνολα και κλειστότητα συνόλου, ανοιχτά σύνολα, εσωτερικό, σύνορο, συνεχείς συναρτήσεις, ακολουθιακός ορισμός συνέχειας, οι συνεχείς αντριστρέφουν ανοιχτά σε ανοιχτά και κλειστά σε κλειστά. Σελίδες 5-20 από τις σημειώσεις Μήτση εδώ. Βίντεο

2η Εβδομάδα (15-21 Φεβρουαρίου): Συμπάγεια, συμπάγεια στον R^d, συνέχεια και συμπάγεια, πληρότητα, πληρότητα στον R^d, ανισότητες Holder και Minkowski, μονοτονία p-νόρμας. Σελίδες 23-31 από τις σημειώσεις Μήτση εδώ και μέρος από την παράγραφο 1.2, 2.1 από το κύριο σύγγραμμα. Προτεινόμενες ασκήσεις από το κύριο σύγγραμμα, σελίδες 13-14: 1, 3, 7, 8, 9, 11, 12, 18, 19. Βίντεο

3η Εβδομάδα (22-28 Φεβρουαρίου): Bασικά παραδείγματα μετρικών χώρων άπειρης διάστασης, χώροι ακολουθιών και συναρτήσεων, διαχωρισιμότητα, πληρότητα, και συμπάγεια βασικών παραδειγμάτων. Μέρος από τις παραγράφους 1.2, 1.3 από το κύριο σύγγραμμα. Προτεινόμενες ασκήσεις από το κύριο σύγγραμμα, σελίδες 13-14: 13, 14, 15, 16, σελίδες 36-37: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8. Βίντεο

4η Εβδομάδα (1-7 Μαρτίου): Το θεώρημα του Baire, ισοδύναμες μορφές του, απόδειξη και εφαρμογές στην ανάλυση. Μέρος από τις παραγράφους 2.2, 2.4 από το κύριο σύγγραμμα. Προτεινόμενες ασκήσεις από το κύριο σύγγραμμα, σελίδες 36-37: 11, 12, 13, 14, 15, 16. Βίντεο