ΣΥΝΑΡΤΗΣΙΑΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ

Εαρινό Εξάμηνο 2022

Διδάσκων: Νίκος Φραντζικινάκης.

E-mail: frantzikinakis@gmail.com.

Ώρες διδασκαλίας: Δευτέρα και Τετάρτη 9:15-11:00 στη A208.

Βασικό Συγγράμα:
(1) Σημειώσεις Γιαννόπουλου εδώ.

Βοηθητικά Συγγράματα:
(2) Προπτυχιακές σημειώσεις Γιαννόπουλου εδώ.
(3) Mεταπτυχιακές σημειώσεις Μήτση εδώ.
(4) J. Conway, Functional Analysis. Graduate Texts in Mathematics v. 96.
(5) P. Lax, Functional Analysis. Wiley Series.

Γραφείο: Γ307.

Ύλη: (I) Xώροι Banach: Κλασικά παραδείγματα, διαχωρισιμότητα, συμπάγεια, βάσεις Hamel και βάσεις Schauder, χώροι πεπερασμένης διάστασης, θεώρημα Baire και εφαρμογές.
(IΙ) Τελεστές σε χώρους Banach: Φραγμένοι γραμμικοί τελεστές και συναρτησοειδή, κλασικοί δυϊκοί χώροι, αρχή ομοιόμορφου φράγματος, θεώρημα ανοιχτής απεικόνισης και κλειστού γραφήματος, θεώρημα Hahn-Banach, διαχωριστικά θεωρήματα, θεωρήματα σταθερού σημείου, εφαρμογές.
(IΙI) Xώροι Hilbert και συμπαγείς τελεστές: χώροι Hilbert, προβολές και ορθογώνιο συμπλήρωμα, ορθοκανονικές βάσεις, τύπος Parseval, θεώρημα αναπαράστασης του Riesz, συζυγής τελεστής, εργοδικό θεώρημα von Neumann, τελεστές Hilbert-Schmidt, συμπαγείς τελεστές και φασματικό θεώρημα για συμπαγείς αυτοσυζυγείς τελεστές.
(IV) Προχωρημένα θέματα: Η ασθενής και ασθενής* τοπολογία, ασθενής συμπάγεια, δεύτερος δυϊκός και αυτοπαθείς χώροι, τοπικά κυρτοί χώροι, ακραία σημεία, θεώρημα Krein-Milman, ολοκληρωτικές αναπαραστάσεις και εφαρμογές.

Έμφαση θα δοθεί και σε εφαρμογές της συναρτησιακής ανάλυσης σε άλλους τομείς των μαθηματικών: πραγματικές συναρτήσεις, θεωρία προσέγγισης, θεωρία μέτρου, ανάλυση Fourier, μιγαδική ανάλυση, διαφορικές και ολοκληρωτικές εξισώσεις, κτλ.

Βαθμολογία: Ασκήσεις: 20%, Πρόοδος: 30%, Τελικό διαγώνισμα: 50%.

Ανακοινώσεις

09/02: Θα ξεκινήσουμε την επόμενη Δευτέρα 14 Φεβρουαρίου 9:15-11:00 στην αίθουσα A208. Παρακαλώ κάντε μία επανάληψη σε κάποιες βασικές ανισότητες και βασικές έννοιες θεωρίας μέτρου (δείτε εδώ) και μετρικών χώρων (δείτε τα πρώτα δύο κεφάλαια εδώ και σελίδες 1-31 εδώ).

14/02: Αλλαγή αίθουσας, τα μαθήματα πλέον θα γίνονται στην Α208.

30/03: Πρόοδος την Παρασκευή 6 Μαϊου 11:00-15:00 στην αίθουσα Α208.

6/05: Τα θέματα της προόδου είναι εδώ.

18/05: Τελικό διαγώνισμα τη Δευτέρα 20 Ιουνίου 11:00-16:00 στην αίθουσα Α208.

21/06: Τα θέματα του τελικού διαγωνίσματος είναι εδώ.

Ημερολόγιο Μαθήματος

1η Εβδομάδα (14, 16 Φεβρουαρίου): Επανάληψη σε βασικές ανισότητες (Holder, Minkowski), βασικές έννοιες μετρικών χώρων (πληρότητα, διαχωρισιμότητα, συμπάγεια), και βασικές έννοεις θεωρίας μέτρου (χώροι μέτρου, κανονικά μέτρα, οριακά θεωρήματα και θεωρήματα προσέγγισης), χώροι με νόρμα, βασικές ιδιότητες, κλασικά παραδείγματα, χώροι ακολουθιών, χώροι συναρτήσεων (μέρος από την παράγραφο 1.1 από τις μεταπτυχιακές σημειώσεις του Γιαννόπουλου και αντίστοιχες παράγραφοι από τις προπτυχιακές σημειώσεις).

2η Εβδομάδα (21, 23 Φεβρουαρίου): Χώροι Banach, απόδειξη πληρότητας για κλασικά παραδείγματα, διαχωρισιμότητα και συμπάγεια, παραδείγματα (μέρος από την παράγραφο 1.1 και 1.4 από τις μεταπτυχιακές σημειώσεις του Γιαννόπουλου και αντίστοιχες παράγραφοι από τις προπτυχιακές σημειώσεις).

3η Εβδομάδα (28 Φεβρουαρίου, 2 Μαρτίου): Bάσεις Hamel και βάσεις Schauder, παραδείγματα, βασικές ιδιότητες χώρων πεπερασμένης διάστασης, ισοδυναμία νορμών, πληρότητα, συμπάγεια μοναδιαίας μπάλας, μη συμπάγεια μοναδιαίας μπάλας σε απειροδιάστατους χώρους (μέρος από την παράγραφο 1.3 και 4.3 από τις μεταπτυχιακές σημειώσεις του Γιαννόπουλου και τις αντίστοιχες παράγραφους από τις προπτυχιακές σημειώσεις).

4η Εβδομάδα (9 Μαρτίου): Το θεώρημα Baire και εφαρμογές, θεώρημα Osgood, συνεχείς πουθενά παραγωγίσιμες συναρτήσεις (παράγραφος 2.4 από τις προπτυχιακές σημειώσεις του Γιαννόπουλου).

5η Εβδομάδα (14, 16 Μαρτίου): Γραμμικοί τελεστές και συναρτησοειδή, βασικές ιδιότητες και παραδείγματα (μέρος από τις παραγράφους 5.1, 5.2, 5.3 από τις προπτυχιακές σημειώσεις του Γιαννόπουλου).

6η Εβδομάδα (21, 23 Μαρτίου): Πληρότητα δυικού χώρου, ο δυικός των χώρων l_p, C[a,b], L_p[a,b], αρχή ομοιόμορφου φράγματος και εφαρμογές (αποκλίνουσες σειρές Fourier), (μετασχηματισμός Fourier δεν είναι επί του c_0), (μέρος από τις παραγράφους 2.5, 3.1, 6.3 από τις μεταπτυχιακές σημειώσεις του Γιαννόπουλου και παράγραφοι 5.1, 5.2, 5.3, 8.1, από τις προπτυχιακές σημειώσεις).

7η Εβδομάδα (28, 30 Μαρτίου): θεώρημα ανοιχτής απεικόνισης και εφαρμογές, θεώρημα κλειστού γραφήματος και εφαρμογές, λήμμα Zorn και εφαρμογές (ύπαρξη βάσης Hamel, επεκτάσεις συναρτησοειδών), (μέρος από τις παραγράφους 3.2, 2.2 από τις μεταπτυχιακές σημειώσεις του Γιαννόπουλου και παράγραφοι 7.1, 8.2, 8.3 από τις προπτυχιακές σημειώσεις).

8η Εβδομάδα (4, 6 Απριλίου): Θεώρημα Hahn-Banach και εφαρμογές στην συναρτησιακή ανάλυση (χαρακτηρισμός κλειστότητας γραμμικού χώρου, διαχωρισιμότητα δυικού συνεπάγεται διαχωρισιμότητα χώρου) και σε άλλους τομείς της ανάλυσης (Banach-limits, πεπερασμένα προσθετικά μέτρα στην ευθεία, θεωρήματα προσέγγισης Muntz και εκθετικών βαρών), (μέρος από την παραγράφο 2.3 από τις μεταπτυχιακές σημειώσεις του Γιαννόπουλου και τις παραγράφους 3.3, 4.2, 4.3,7.2, 7.3, 9.1, 9.2, 9.3 από το βιβλίο του Lax).

9η Εβδομάδα (11, 13 Απριλίου): Χώροι με εσωτερικό γινόμενο, παραδείγματα, καθετότητα, ορθοκανονικά σύνολα, μέθοδος ορθοκανικοποίησης Grahm-Schmidt, προβολές σε χώρους πεπερασμένης διάστασης, ανισότητα Bessel, προβολές και θεώρημα διάσπασης, ορθοκανονικές βάσεις, ταυτότητα Parseval, συντελεστές Fourier, εφαρμογές σε αρμονική ανάλυση, Θεώρημα αναπαράστασης του Riesz. (μέρος από την παραγράφο 1.6 από τις μεταπτυχιακές σημειώσεις του Γιαννόπουλου και τις παραγράφους 6.1, 6.2, 6.3, 6.4, 6.5 από τις προπτυχιακές σημειώσεις).

10η Εβδομάδα (4 Μαϊου): Bασικά παραδείγματα τελεστών σε χώρους Hilbert: πεπερασμένης διάστασης, διαγώνιοι, πολλαπλασιασμού, ολοκληρωτικοί, μεταφοράς, μετασχηματισμοί που διατηρούν κάποιο πεπερασμένο μέτρο, (μέρος από την παραγράφο ΙΙ.1 από το βιβλίο του Conway).

11η Εβδομάδα (9, 11, 13 Μαϊου): Συζυγής τελεστής και παραδείγματα, αυτοσυζυγείς, μοναδιαίοι, και φυσιολογικοί τελεστές και παραδείγματα, θεώρημα σύγκλισης von Neumann για ισομετρίες και εφαρμογή στην εργοδική θεωρία (εργοδικό θεώρημα), συμπαγείς τελεστές, ικανές και αναγκαίες συνθήκες για συμπάγεια διαγώνιων τελεστών, τελεστές Hilbert Schmidt, συμπάγεια ολοκληρωτικών τελεστών Ιδιοτιμές και ιδιοδιανύσματα για αυτοσυζυγείς και συμπαγείς τελεστές, ύπαρξη ιδιοτιμής (μέρος από τις παραγράφους ΙΙ.2, ΙΙ.4, ΙΙ.5 από το βιβλίο του Conway).

12η Εβδομάδα (16, 18 Μαϊου): Θεώρημα διαγωνιοποίησης για συμπαγείς αυτοσυζυγείς τελεστές, ιδιοτιμές και αντιστρεψιμότητα για συμπαγείς τελεστές, εφαρμογή σε ολοκληρωτικές εξισώσεις (εξίσωση Fredholm), αυτοπαθείς χώροι και παραδείγματα, ασθενής ακολουθιακή σύγκλιση και παραδείγματα, (μέρος από την παραγράφο ΙΙ.5 από το βιβλίο του Conway, μέρος από τις παραγράφους 8.3, 10.1 από το βιβλίο του Lax).

13η Εβδομάδα (23, 25, 30 Μαϊου): Διαχωριστικά θεωρήματα, ασθενής ακολουθιακή συμπάγεια μοναδιαίας μπάλας σε αυτοπαθείς χώρους, προσεγγισιμότητα σε αυτοπαθείς χώρους, ασθενής* ακολουθιακή σύγκλιση και παραδείγματα, συμπάγεια μοναδιαίας μπάλας σε δυϊκό διαχωρίσιμου χώρου. Στοιχεία γενικής τοπολογίας, ασθενής και ασθενής* τοπολογία, θεώρημα Alaoglou, (μέρος από τις παραγράφους 10, 11, 12, 13, 14, 16 από τις μεταπτυχιακέςσημειώσεις του Μήτση, την παράγραφο 2.4 και το κεφάλαιο 6 από τις μεταπτυχιακές σημειώσεις του Γιαννόπουλου και 7.4 από τις προπτυχιακές σημειώσεις, και τις παραγράφους 10.2, 10.3, 14.3, 14.4 από το βιβλίο του Lax).

Φυλλάδια Ασκήσεων