ΘΕΩΡΙΑ ΜΕΤΡΟΥ

Χειμερινό Εξάμηνο 2010

Διδάσκων: Νίκος Φραντζικινάκης.

E-mail: nikosf@math.uoc.gr.

Ώρες διδασκαλίας: Tετάρτη και Παρασκευή 1:00-3:00 στην Γ 104.

Βασικό Bιβλίο: Ε. Stein, R. Shakarchi, Real Analysis. Princeton Lectures in Analysis (Book 3).

Aλλα Bιβλία: (1) R. Wheeden, A. Zygmund, Measure and Integral: An Introduction to Real Analysis.
(2) N. Carothers, Real Analysis (Part III). (3) G. Folland, Real Analysis: Modern Techniques and Their Applications.

Γραφείο: Η 308.

Ώρες γραφείου: Ελάτε όποτε θέλετε.

Βαθμολογία: Ασκήσεις: 10%, Πρόοδος: 40%, Τελικό διαγώνισμα: 50%.

Ανακοινώσεις

17/09: Θα ξεκινήσουμε την Τετάρτη 22 Σεπτέμβρη.

22/09: Αλλαγή αίθουσας διδασκαλίας: Γ 104.

29/09: Το μάθημα πλέον θα ξεκινάει στις 1:05 και όχι στις 1:15.

14/10: Την Πέμπτη 21 Οκτωβρίου θα κάνουμε ένα επιπλέον δίωρο ασκήσεων (Φυλλάδια 1-2) 5:00-7:00 στην Γ 104.

1/11 Πρόοδος : Τρίτη 16 Νοεμβρίου 1:00-4:00 ΜM στην Z 301. Ύλη: Ότι κάναμε μέχρι τις 5 Νοεμβρίου.

16/11: Tα θέματα της προόδου είναι εδώ.

10/12: Την Πέμπτη 16 Δεκεμβρίου θα κάνουμε ένα επιπλέον δίωρο ασκήσεων (Φυλλάδια 5-6) 1:00-3:00 στην Γ 104.

16/12: Τελικό διαγώνισμα: Τετάρτη 2 Φεβρουαρίου 1:00-5:00 ΜM στην Γ 104. Όλη η ύλη.

14/1: Την Πέμπτη 27 Ιανουαρίου θα κάνουμε ένα επιπλέον δίωρο ασκήσεων (Φυλλάδια 7-8) 1:00-3:00 στην Γ 104.

03/02: Tα θέματα του τελικού διαγωνίσματος είναι εδώ.

Ημερολόγιο Μαθήματος

1η Εβδομάδα (22, 24 Σεπτεμβρίου) : Δομή ανοιχτών υπoσυνόλων του ευκλείδιου χώρου, εξωτερικό μέτρο στον ευκλείδιο χώρο, πρώτες βασικές ιδιότητες και παραδείγματα υπολογισμού εξωτερικού μέτρου, το σύνολο Cantor.

2η Εβδομάδα (29 Σεπτεμβρίου, 1 Οκτωβρίου) : Επιπλέον βασικές ιδιότητες εξωτερικού μέτρου, μετρήσιμα σύνολα και μέτρο Lebesgue, βασικές ιδιότητες, θεωρήματα προσέγγισης μετρήσιμων συνόλων από απλούστερα σύνολα.

3η Εβδομάδα (6, 8 Οκτωβρίου) : Δεν έγιναν μαθήματα λόγο απουσίας του διδάσκοντα.

4η Εβδομάδα (13, 15 Οκτωβρίου) : Σύνολα Borel, παράδειγμα μη μετρήσιμου συνόλου, η συνάρτηση Cantor-Lebesgue, μετρήσιμες συναρτήσεις, βασικές ιδιότητες, Riemann ολοκληρώσιμη συνεπάγεται σχεδόν παντού συνεχής.

5η Εβδομάδα (20, 21, 22 Οκτωβρίου) : Θεωρήματα προσέγγισης (κατά σημείο) από απλές, κλιμακωτές και συνεχείς συναρτήσεις, θεώρημα Egorov και Lusin, ορισμός ολοκληρώματος Lebesgue για απλές συναρτήσεις και για μετρήσιμες που είναι φραγμένες και έχουν φορέα πεπερασμένου μέτρου. Λύση ασκήσεων απο τα φυλλάδια 1 και 2.

6η Εβδομάδα (27, 29 Οκτωβρίου) : Ορισμός ολοκληρώματος Lebesgue για μη αρνητικές μετρήσιμες συναρτήσεις, βασικές ιδιότητες, οριακά θεωρήματα (φραγμένης, μονότονης, και κυριαρχημένης σύγκλισης, λήμμα Fatou), εφαρμογές οριακών θεωρημάτων.

7η Εβδομάδα (3, 5 Νοεμβρίου) : Ο χώρος των ολοκληρώσιμων συναρτήσεων, πληρότητα, θεωρήματα προσέγγισης από κλιμακωτές και συνεχείς, εφαρμογές θεωρημάτων προσέγγισης. Λύση ασκήσεων από τα φυλλάδια 3 και 4.

Εβδομάδα 10, 12 Νοεμβρίου : Δεν έγιναν μαθήματα λόγο εκλογών.

8η Εβδομάδα (19 Νοεμβρίου) : Oι χώροι L^p και βασικές ιδίοτητες τους, προετοιμασία για το θεώρημα Fubini.

9η Εβδομάδα (25, 26 Νοεμβρίου) : Θεώρημα Fubini και Tonelli και εφαρμογές τους, συνέλιξη συναρτήσεων και προσεγγίσεις της μονάδας.

10η Εβδομάδα (1, 3 Δεκεμβρίου) : Παραδείγματα χώρων με μέτρο, εξωτερικά μέτρα, μετρησιμότητα κατά Καραθεοδωρή, θεώρημα επέκτασης Καραθεοδωρή, ο χώρος των ακολουθιών με τιμές 0 η 1 και μέτρα σε αυτόν, θεώρημα επέκτασης Καραθεοδωρή-Kolmogorov.

11η Εβδομάδα (8, 10 Δεκεμβρίου) : Γενικοί χώροι με μέτρο, μετρήσιμες συναρτήσεις, ολοκλήρωση, οριακά θεωρήματα, θεωρήματα προσέγγισης για σ-πεπερασμένα μέτρα Borel, θεώρημα Fubini και Tonelli, προσημασμένα μέτρα, θεώρημα διάσπασης Hahn.

12η Εβδομάδα (15, 16, 17 Δεκεμβρίου) : Απολύτως συνεχή και ιδιάζοντα μέτρα, θεώρημα Radon-Nikodym, μετασχηματισμοί που διατηρούν κάποιο φραγμένο μέτρο, εργοδικότητα, το εργοδικό θεώρημα του Von-Neumann, λύσεις ασκήσεων από τα φυλλάδια 5 και 6.

13η Εβδομάδα (12, 14 Ιανουαρίου) : Μεγιστικές συναρτήσεις, το θεώρημα διαφόρισης του Lebesgue, σημεία πυκνότητας, απόλυτα συνεχείς συναρτήσεις και η σχέση τους με αόριστα ολοκληρώματα.

27 Ιανουαρίου : Λύσεις ασκήσεων από τα φυλλάδια 7 και 8.

Φυλλάδια Ασκήσεων