ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ

Εαρινό Εξάμηνο 2013

Διδάσκων: Νίκος Φραντζικινάκης.

E-mail: frantzikinakis@gmail.com.

Ώρες διδασκαλίας: Τρίτη 1:00-3:00 και Πέμπτη 11:00-1:00 στην B214.

Βασικά Συγγράμματα:
(1) A. N. Shiryaev, Probability. Graduate Texts in Mathematics v. 95.
(2) Kai Lai Chung, A Course in Probability. 3rd edition.

Αλλα Συγγράμματα:
(3) P. Billingsley, Probability and Measure.
(4) R. Durrett, Probability: Theory and Examples.

Γραφείο: Γ307 (στις Βούτες).

Ώρες γραφείου: Τρίτη 10:00-12:00.

Ύλη: Κατασκευή χώρων πιθανότητας, τυχαίες μεταβλητές, κατασκευή στοχαστικών διαδικασιών, ανεξαρτησία, μέση τιμή, η πιθανοθεωρητική μέθοδος σε συνδυαστική και θεωρία αριθμών, είδη σύγκλισης (σχεδόν βέβαια, κατά τετραγωνικό μέσο, κατά πιθανότητα, κατά κατανομή), νόμος 0-1 Kolmogorov, ασθενής και ισχυρός νόμος μεγάλων αριθμών, θεώρημα τριών σειρών, νόμος επαναλαμβανόμενου λογαρίθμου Khintchine, εφαρμογές οριακών θεωρημάτων, χαρακτηριστικές συναρτήσεις, το κεντρικό οριακό θεώρημα για ανεξάρτητες και εξαρτημένες τυχαίες μεταβλητές (συνθήκη Lindeberg), εφαρμογές οριακών θεωρημάτων, δεσμευμένη μέση τιμή, (sub)-martingales, οριακά θεωρήματα και εφαρμογές. (κομμάτια από από τα Kεφάλαια 2-4 του βιβλίου του Shiryaev και τα Kεφάλαια 2-7 του βιβλίου του Kai Lai Chung).

Βαθμολογία: Ασκήσεις: 20%, Τελικό διαγώνισμα: 80%.

Ανακοινώσεις

14/02: Θα ξεκινήσουμε την επόμενη Τρίτη 19 Φεβρουαρίου 1:00-3:00 στην αίθουσα Β214 στις Βούτες.

30/5: Ασκήσεις στις 18 Ιουνίου 16:00-19:00 στην αίθουσα Β212.

5/6: Τελικό διαγώνισμα στις 21 Ιουνίου 12:00-17:00 στην αίθουσα Β212.

21/6: Τα θέματα του τελικού διαγωνίσματος είναι εδώ.

Ημερολόγιο Μαθήματος

1η Εβδομάδα (19, 21 Φεβρουαρίου): Βασικά πιθανοθεωρητικά μοντέλα, χώροι ακολουθιών, πεπερασμένα προσθετικά μέτρα στην άλγεβρα κυλινδρικών συνόλων, άλγεβρες, σ-άλγεβρες, μονότονες κλάσεις παραγόμενες από οικογένειες συνόλων και μεταξύ τους σχέσεις, ιδιότητες σ-προσθετικών μέτρων σε άλγεβρες (μέρος από τις παραγράφους ΙΙ.1, ΙΙ.2, σελ. 131-147 Shiryaev).

2η Εβδομάδα (26, 28 Φεβρουαρίου): Συναρτήσεις κατανομής και μέτρα πιθανότητας στην ευθεία και σε περισσότερες διαστάσεις, απόλυτα συνεχή, διακριτά και ιδιάζοντα μέτρα πιθανότητας, θεώρημα επέκτασης Kolmogorov και μέτρα πιθανότητας σε χώρους ακολουθιών (μέρος από τις παραγράφους ΙΙ.2, ΙΙ.3, σελ. 151-165 Shiryaev).

3η Εβδομάδα (5, 7 Μαρτίου): Τυχαίες μεταβλητές και βασικές ιδιότητες, τυχαία διανύσματα και κατανομή αυτών, ανεξαρτησία, θεώρημα επέκτασης Kolmogorov για τυχαίες ακολουθίες, κατασκευή ακολουθίας ανεξάρτητων τυχαίων μεταβλητών με δεδομένες κατανομές (μέρος από τις παραγράφους ΙΙ.4, ΙΙ.5, ΙΙ.9 σελ. 171-180, 245-248 Shiryaev).

4η Εβδομάδα (12, 14 Μαρτίου): Μέση τιμή, βασικές ιδιότητες, ανισότητες, και οριακά θεωρήματα, μέση τιμή γινομένου ανεξάρτητων τυχαίων μεταβλητών, εφαρμογές πιθανοθεωρητικής μεθόδου Ι (προσθαφαιρέσεις διανυσμάτων, μονοχρωματικά τρίγωνα, αριθμητικές πρόοδοι) (μέρος από την παραγράφο ΙΙ.6, σελ. 180-202 Shiryaev και slides Κολουντζάκη εδώ).

5η Εβδομάδα (19, 21 Μαρτίου): Ανισότητα Chebyshev και ανισότητες τύπου Chernoff, εφαρμογές πιθανοθεωρητικής μεθόδου ΙΙ (μέθοδος Monte Carlo για εκτίμηση εμβαδού, πλήθος πρώτων παραγόντων, προσθαφαιρέσεις διανυσμάτων, ασυμπτωτικές προσθετικές βάσεις), είδη σύγκλισης, σχεδόν βέβαια, κατά τετραγωνικό μέσο, κατά πιθανότητα (slides Κολουντζάκη εδώ και μέρος από την παραγράφο ΙΙ.10, σελ. 252-262 Shiryaev).

6η Εβδομάδα (26, 28 Μαρτίου): Λήμμα Borel-Cantelli, νόμος 0-1 Kolmogorov και Hewitt Savage, τυχαίος περίπατος στους ακεραίους, "εύκολα" οριακά θεωρήματα για ανεξάρτητες τυχαίες ματαβλητές (με χρήση 2nd and 4th moments, exponential moments), (μέρος από τις παραγράφους ΙΙ.10, IV.1, IV.2 σελ. 255 και 380-389 Shiryaev, επίσης Chung σελ. 105-109).

7η Εβδομάδα (2, 4 Απριλίου): Ισχυρός νόμος μεγάλος αριθμών (απόδειξη Etemadi), μεγιστικές ανισότητες, θεώρημα σύγκλισης τριών σειρών Kolmogorov, δεύτερη απόδειξη του ισχυρού νόμου μεγάλων αριθμών (μέρος από τις παραγράφους IV.2, IV.3 σελ. 384-394 Shiryaev, επίσης Billingsley Θεώρημα 22.1 για την απόδειξη του Etemadi).

8η Εβδομάδα (9, 11 Απριλίου): Νόμος επαναλαμβανόμενου λογαρίθμου Khintchine, εφαρμογές οριακών θεωρημάτων (κανονικοί αριθμοί, το θεώρημα προσέγγισης του Weierstrass, ισοκατανομή τυχαίων ακολουθιών) (Billingsley Θεώρημα 9.4-9.6 για την απόδειξη του νόμου επαναλαμβανόμενου λογαρίθμου, επίσης Chung σελ. 109-111, 145-146).

9η Εβδομάδα (16, 18 Απριλίου): Σύγκλιση κατά κατάνομη, ισοδύναμοι ορισμοί, ασθενής σύγκλιση μέτρων, σχετική συμπάγεια, θεώρημα Prokhorov (σελ. 256 και παράγραφοι ΙΙΙ.1, ΙΙΙ.2 σελ. 308-321 Shiryaev).

10η Εβδομάδα (23, 25 Απριλίου): Χαρακτηριστικές συναρτήσεις, βασικές ιδιότητες, θεώρημα αντιστροφής και μοναδικότητας, θεώρημα συνέχειας, το κεντρικό οριακό θεώρημα για ανεξάρτητες και ισόνομες τυχαίες μεταβλητές (παράγραφοι ΙΙ.12 σελ. 274-286 και ΙΙΙ.2 σελ. 321-327 Shiryaev).

11η Εβδομάδα (14, 16 Μαϊου): To οριακό θεώρημα Poisson, το κεντρικό οριακό θεώρημα για ανεξάρτητες (όχι υποχρεωτικά ισόνομες) τυχαίες μεταβλητές (συνθήκη Lindeberg), stable laws. (παράγραφοι ΙΙΙ.3, ΙΙΙ.4, σελ. 327-333, και ΙΙΙ.6 σελ 344-348 Shiryaev).

12η Εβδομάδα (21, 23 Μαϊου): Δεσμευμένη μέση τιμή, βασικές ιδιότητες, martingales, παραδείγματα marτingales, sub-martingales, reverse martingales. (μέρος από παραγράφους 34-35 Billingsley).

13η Εβδομάδα (28, 30 Μαϊου): Θεώρημα σύγκλισης Doob για sub-martingales και reverse martingales, ομοιόμορφα ολοκληρώσιμα martingales και θεώρημα σύγκλισης στον L^1, εφαρμογές: θεώρημα μίας σειράς Kolmogorov, ισχυρός νόμος μεγάλων αριθμών, γινόμενα ανεξάρτητων τυχαίων μεταβλητών, θεωρήματα διαφόρισης, θεώρημα σύγκλισης Levy για δεσμευμένη μέση τιμή συνάρτησης ως προς αύξουσα ή φθίνουσα ακολουθία σ-αλγεβρών. (μέρος από παραγράφο 35 Billingsley και VII.1 σελ 474-475, VII.3 σελ 503-504, VII.4 σελ 508-513 Shiryaev).

Φυλλάδια Ασκήσεων