ΕΡΓΟΔΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ

Χειμερινό Εξάμηνο 2017

Διδάσκων: Νίκος Φραντζικινάκης.

E-mail: frantzikinakis@gmail.com.

Ώρες διδασκαλίας: Τρίτη 11:15-13:00 και Πέμπτη 13:15-15:00 στην Β214.

Βασικό Συγγράμμα:
(1) Μ.Einsiedler-T.Ward, Ergodic Theory (with a view towards Number Theory). Graduate Texts in Mathematics v. 259.

Βοηθητικά Συγγράμματα:
(2) P.Walters, An introduction to Ergodic Theory. Graduate Texts in Mathematics v. 79.
(3) K.Petersen, Ergodic Theory. Cambridge Studies in Advanced Mathematics.

Γραφείο: Γ307.

Ύλη: Παραδείγματα μετρήσιμων δυναμικών συστημάτων, το θεώρημα επαναφοράς του Poincare, το εργοδικό θεώρημα Von Neumann και Birkhoff, το θεώρημα Von Neumann για τετράγωνα, εφαρμογή σε θεωρία Ramsey (θεώρημα Furstenberg-Sarkozy), εφαρμογές (ισοκατανομή ακολουθιών, κανονικοί αριθμοί, συνεχή κλάσματα, ισχυρός νόμος μεγάλων αριθμών για στάσιμες στοχαστικές ανελίξεις), παραδείγματα weak mixing συστημάτων και ισοδύναμοι ορισμοί, strong mixing, ισομορφία, factors, Kronecker factor, θεώρημα διακριτού φάσματος Halmos-Von Neumann, αμετάβλητα μέτρα σε συμπαγείς μετρικούς χώρους, μοναδικά εργοδικά συστήματα, ισοκατανομή άρρητων πολυωνύμων, εργοδική ανάλυση αμετάβλητων μέτρων, πολλαπλό εργοδικό θεώρημα Furstenberg, εφαρμογή σε θεωρία Ramsey (θεώρημα Roth), εντροπία διαμέρισης και δυναμικού συστήματος, υπολογισμός σε απλές περιπτώσεις, μη ισομορφία 2-shift και 3-shift, το θεώρημα Shannon-McMillan-Breiman (κομμάτια από από τα Kεφάλαια 2-7 του βιβλίου των Einsiedler-Ward και τα Kεφάλαια 3-4 του βιβλίου του Walters).

Βαθμολογία: Ασκήσεις: 20%, Πρόοδος 30%, Τελικό διαγώνισμα: 50%.

Ανακοινώσεις

25/11: Πρόοδος την Παρασκευή 8 Δεκεμβρίου 12:00-15:00 στην αίθουσα Ε205. Μπορείτε να έχετε μία σελίδα με σημειώσεις σας.

14/12: Τα θέματα της προόδου είναι εδώ.

15/12: Ασκήσεις την Τετάρτη 24 Ιανουαρίου 11:00-14:00 στην αίθουσα Β212.

15/12: Τελικό διαγώνισμα την Παρασκευή 27 Ιανουαρίου 11:00-15:00 στην αίθουσα Β212.

27/1: Τα θέματα του τελικού διαγωνίσματος είναι εδώ.

Ημερολόγιο Μαθήματος

1η Εβδομάδα (26, 28 Σεπτεμβρίου): Γενική επισκόπηση μαθήματος, κανονικοί χώροι μέτρου, συστήματα που διατηρούν το μέτρο (δυναμικά συστήματα), ορισμός και ισοδύναμοι χαρακτηρισμοί (μέρος από τις παραγράφους 1.1, 1.3, 2.1, Appendix A.1 από το βιβλίο των Einsiedler-Ward). Μερικές εφαρμογές εργοδικής θεωρίας σε συνδυαστική εδώ και εδώ, θεωρία αριθμών εδώ, διοφαντικές προσεγγίσεις εδώ και εδώ, billiards εδώ και εδώ, γεωμετρία Riemann εδώ, στατιστική μηχανική και πιθανότητες εδώ.

2η Εβδομάδα (3, 5 Οκτωβρίου): Παραδείγματα δυναμικών συστημάτων, στροφές και ομομορφισμοί στον κύκλο στον τόρο και γενικότερα σε συμπαγείς αβελιανές ομάδες, αφινικοί μετασχηματισμοί, skew products, ο μετασχηματισμός Gauss, συνεχείς μετασχηματισμοί σε συμπαγείς μετρικούς χώρους (μέρος από τις παραγράφους 2.1, Appendix A.1, C.1, C.2, C.3 από το βιβλίο των Einsiedler-Ward).

3η Εβδομάδα (10, 12 Οκτωβρίου): Stationary μέτρα στον χώρο ακολουθιών, Bernoulli shifts, σχέση εργοδικής θεωρίας με πιθανότητες (αντιστοιχία Kolmogorov) και συνδυαστική (αντιστοιχία Furstenberg) (μέρος από τις παραγράφους 2.1, 7.3 από το βιβλίο των Einsiedler-Ward).

4η Εβδομάδα (17, 19 Οκτωβρίου): Θεώρημα επαναφοράς Poincare, σύνολα και ακολουθίες επαναφοράς, παραδείγματα και αναγκαίες συνθήκες, εργοδικά συστήματα, ισοδύναμοι ορισμοί, Κριτήρια εργοδικότητας, (μέρος από τις παραγράφους 2.2, 2.3, από το βιβλίο των Einsiedler-Ward και 1.5 από το βιβλίο του Walters).

5η Εβδομάδα (24, 26 Οκτωβρίου): Παραδείγματα εργοδικών μετασχηματισμών, στροφές σε συμπαγείς αβελιανές ομάδες, επιμορφισμοί και αφινικοί μετασχηματισμοί στον πολυδιάστατο τόρο, skew products, ο μετασχηματισμός Gauss, Bernoulli shifts (μέρος από τις παραγράφους 2.3, 2.4, 3.2 από το βιβλίο των Einsiedler-Ward).

6η Εβδομάδα (31 Οκτωβρίου, 2 Nοεμβρίου): Eργοδικό θεώρημα Von Neumann, αναγωγή σε θεώρημα σύγκλισης για μοναδιαίους τελεστές σε χώρους Hilbert, απόδειξη με χρήση θεωρήματος διάσπασης, και δεύτερη απόδειξη με χρήση θεωρήματος αναπαράστασης Herglotz, θεώρημα επαναφοράς Khintchine, λήμμα van der Corput σε χώρους με εσωτερικό γινόμενο, θεώρημα σύγκλισης Furstenberg για την ακολουθία τετραγώνων και θεώρημα επαναφοράς Furstenberg-Sarkozy για την ακολουθία τετραγώνων, απόδειξη με χρήση θεωρήματος διάσπασης (παράγραφοι 2.5, 7.4 από το βιβλίο των Einsiedler-Ward). Ιστορικά στοιχεία σχετικά με εργοδικά θεωρήματα που έχουμε αποδείξει εδώ.

7η Εβδομάδα (7, 9 Nοεμβρίου): Δεύτερη απόδειξη θεωρημάτων Furstenberg-Sarkozy με χρήση θεωρήματος αναπαράστασης Herglotz, κατά σημείο εργοδικό θεώρημα Brikhoff, (μέρος από τις παραγράφους 2.6.1, 2.6.2, 2.6.4, 2.6.5, 3.2 από το βιβλίο των Einsiedler-Ward). Η πρώτη απόδειξη του θεωρήματος Birkhoff εδώ. H εικασία εργοδικότητας των Boltzmann-Sinai εδώ.

8η Εβδομάδα (14, 16 Nοεμβρίου): Eφαρμογές εργοδικού θεωρήματος: ισοκατανομή τροχιών σε συμπαγείς μετρικούς χώρους, κανονικοί αριθμοί, συνεχή κλάσματα, ισχυρός νόμος μεγάλων αριθμών για στάσιμες στοχαστικές ανελίξεις, strong mixing, ισοδύναμοι ορισμοί και παραδείγματα (επιμορφισμοί συμπαγών αβελιανών ομάδων, Bernoulli shifts), (παράγραφοι 2.7, 2.8, 3.2 από το βιβλίο των Einsiedler-Ward και 1.6, 1.7 από το βιβλίο του Walters, για πιθανοθεωρητικές εφαρμογές κοιτάξτε στο κεφάλαιο VI του Shiryaev (Probability)).

9η Εβδομάδα (21, 23 Nοεμβρίου): Weak mixing, ισοδύναμοι ορισμοί, σύγκλιση κατά πυκνότητα και σχέση με weak mixing, εργοδικότητα καρτεσιανού γινομένου, xαρακτηρισμός συστημάτων weak mixing (θεώρημα Koopman-von Neumann), θεώρημα πολλαπλής επαναφοράς και σύγκλισης για weak mixing συστήματα, (παράγραφοι 2.1, 2.8.1, 7.5.2, από το βιβλίο των Einsiedler-Ward και 1.7 από το βιβλίο του Walters).

10η Εβδομάδα (28, 30 Nοεμβρίου): Ισόμορφα δυναμικά συστήματα και factors, παραδείγματα, αντιστοιχία μεταξύ factors, Τ-αναλλοίωτων σ-αλγεβρών συνόλων και κλειστών Τ-αναλλοίωτων αλγεβρών συναρτήσεων, Kronecker-factor παραδείγματα, το θεώρημα διακριτού φάσματος Halmos-Von Neumann, αμετάβλητα μέτρα για συνεχείς μετασχηματισμούς σε συμπαγείς μετρικούς χώρους, παραδείγματα και θεώρημα ύπαρξης, minimal ομοιομορφισμοί, αντιστοιχία Furstenberg (τοπολογικά δυναμικά συστήματα και συνδυαστική), (μέρος από τις παραγράφους 4.1, 4.3, 6.4, Β5 από το βιβλίο των Einsiedler-Ward και 2.1, 2.2, 2.3, 2.4, 3.1, 3.2, 3.3, 5.1, 5.2, 6.1, 6.2, από το βιβλίο του Walters).

11η Εβδομάδα (5, 7 Δεκεμβρίου): Mοναδικά εργοδικοί μετασχηματισμοί, παραδείγματα, τυπικά σημεία, κριτήριο μοναδικής εργοδικότητας Furstenberg, εφαρμογή σε skew products, βασικές ιδιότητες μοναδικών εργοδικών συστημάτων και εφαρμογή σε ισοκατανομή άρρητων πολυωνύμων, θεώρημα εργοδικής διάσπασης (μέρος από τις παραγράφους 4.3, 4.4.2, 4.4.3 από το βιβλίο των Einsiedler-Ward και 6.2, 6.5 από το βιβλίο του Walters).

12η Εβδομάδα (12, 14 Δεκεμβρίου): Πολλαπλό (διπλό) εργοδικό θεώρημα επαναφοράς και σύγκλισης Furstenberg, εφαρμογή σε θεωρία Ramsey (θεώρημα Roth), (μέρος από τις παραγράφους 7.2, 7.5.1, 7.6 από το βιβλίο των Einsiedler-Ward). Ιστορικά στοιχεία σχετικά με τo θεώρημα Szemeredi εδώ. Η εργοδική απόδειξη του θεωρήματος Szemeredi εδώ. Μια επισκόπηση κάποιων εφαρμογών εργοδικής θεωρίας σε συνδυαστική (μέχρι το 2006) εδώ και μία πιο εκτενής (μέχρι το 1996) εδώ.

13η Εβδομάδα (19, 21 Δεκεμβρίου): Eισαγωγή στην έννοια της εντροπίας, εντροπία διαμέρισης Εντροπία δυναμικού συστήματος, θεώρημα Kolmogorov-Sinai, υπολογισμός εντροπίας σε απλές περιπτώσεις, μη ισομορφία 2-shift και 3-shift, μετασχηματισμοί με εντροπία μηδέν και μετασχηματισμοί K, το θεώρημα Shannon-McMillan-Breiman (μέρος από τις παραγράφους 4.1, 4.2, 4.3, 4.4, 4.5, 4.6, από το βιβλίο του Walters). Ιστορικά στοιχεία σχετικά με την συνεισφορά του Kolmogorov στην εργοδική θεωρία εδώ. Ιστορικά στοιχεία σχετικά με προβλήματα ισομορφισμού δυναμικών συστημάτων και εντροπίας εδώ και εδώ.

Φυλλάδια Ασκήσεων