3.10 Ασκήσεις‣ Chapter 3 Πρόβλημα δύο σημείων ‣ Αριθμητική Επίλυση Μερικών Διαφορικών Εξισώσεων

3.1.

Δείξτε ότι η $|\cdot|_{1,h}$ που ορίζεται στην (3.25) ορίζει μια νόρμα στον $\mathbb{R}^{N+2}_{0}$ .

3.2.

Έστω $u$ η λύση του προβλήματος συνοριακών τιμών

	$\displaystyle-x^{2}u^{\prime\prime}(x)-xu^{\prime}(x)+4u(x)$	$\displaystyle=20x^{3},\quad\text{ με }x\in[1,2],$
	$\displaystyle u(1)=0,\ u(2)$	$\displaystyle=0.$

Γράψτε το αριθμητικό σχήμα πεπερασμένων διαφορών χρησιμοποιώντας κεντρικές διαφορές $\delta^{c}_{h}$ και $\delta^{c}_{h,2}$ . Ποιος είναι ο περιορισμός για το βήμα $h$ , ώστε ο αντίστοιχος πίνακας που χρησιμοποιούμε για την προσέγγιση της λύσης να είναι αντιστρέψιμος $;$

3.3.

Έστω $u$ η λύση του προβλήματος συνοριακών τιμών

	$\displaystyle-u^{\prime\prime}(x)+u^{\prime}(x)$	$\displaystyle=1,\quad\text{ με }x\in[a,b],$
	$\displaystyle u(a)=0,\ u(b)$	$\displaystyle=0.$

(a)

Έστω ότι προσεγγίζουμε τη δεύτερη παράγωγο, $u^{\prime\prime}(x_{i})$ , με την κεντρική διαφορά $(u(x_{i+1})-2u(x_{i})+u(x_{i-1}))/h^{2}$ και την πρώτη παράγωγο, $u^{\prime}(x_{i})$ , με τη διαφορά $(u(x_{i})-u(x_{i-1}))/h$ . Ποιο θα είναι το διακριτό σχήμα και ποιο το τοπικό σφάλμα διακριτοποίησης $;$
(b)

Γράψτε τη μέθοδο σε μορφή γραμμικού συστήματος, όπως η (3.8). Για να είναι αντιστρέψιμος ο πίνακας, χρειάζεται περιορισμός στο βήμα $h$ $;$

3.4.

Έστω $u$ η λύση του προβλήματος συνοριακών τιμών, με $a,b>0$

	$\displaystyle-u^{\prime\prime}(x)+u(x)$	$\displaystyle=f(x),\quad\text{ με }x\in[0,1],$
	$\displaystyle au(0)+bu^{\prime}(0)=c,\ u(1)$	$\displaystyle=0.$

(a)

Διατυπώστε ένα διακριτό σχήμα με τοπικό σφάλμα διακριτοποίησης τάξης ακρίβειας δύο.
(b)

Γράψτε τη μέθοδο σε μορφή γραμμικού συστήματος.

3.5.

Έστω $u$ η λύση του προβλήματος συνοριακών τιμών

	$\displaystyle-u^{\prime\prime}(x)+u(x)$	$\displaystyle=f(x),\quad\text{ με }x\in[0,1],$
	$\displaystyle u(0)=u(1),\ u^{\prime}(0)$	$\displaystyle=u^{\prime}(1).$

(a)

Διατυπώστε ένα διακριτό σχήμα με τοπικό σφάλμα διακριτοποίησης τάξης ακρίβειας δύο.
(b)

Γράψτε τη μέθοδο σε μορφή γραμμικού συστήματος.

3.6.

(a)

Χρησιμοποιώντας το θεώρημα του Taylor, αποδείξτε ότι

u(x_{i+1})-2u(x_{i})+u(x_{i-1})=h^{2}u^{\prime\prime}(x_{i})+\frac{1}{12}h^{4}% u^{\prime\prime\prime\prime}(x_{i})+\eta_{i}

και ότι

		$\displaystyle u(x_{i+1})-2u(x_{i})+u(x_{i-1})$
		$\displaystyle\quad=\dfrac{1}{12}h^{2}(u^{\prime\prime}(x_{i+1})+10u^{\prime% \prime}(x_{i})+u^{\prime\prime}(x_{i-1}))+\tilde{\eta}_{i},$

όπου $\max\{|\tilde{\eta}_{i}|,|\eta_{i}|\}\leq Ch^{6}$ , με $C$ ανεξάρτητη του $h$ .

(b)

Αν υποθέσουμε ότι η $u$ ικανοποιεί τη Δ.Ε. $u^{\prime\prime}(x)=F(x,u)$ , χρησιμοποιήστε το παραπάνω αποτέλεσμα για να καταλήξετε στη μέθοδο πεπερασμένων διαφορών

$-(U_{i+1}-2U_{i}+U_{i+1})=\dfrac{h^{2}}{12}(F_{i+1}+10F_{i}+F_{i+1}),$

με $F_{i}=F(x_{i},u(x_{i}))$ .
(c)

Διατυπώστε τη μέθοδο, όταν $F(x,u)=f(x)-q(x)u$ . Γράψτε τη μέθοδο σε μορφή γραμμικού συστήματος.

3.7.

Θεωρούμε το πρόβλημα

	$\displaystyle-\dfrac{d}{dx}(D(x)\dfrac{d}{dx}u(x))+u(x)$	$\displaystyle=f(x),\quad\text{ με }x\in[0,1],$
	$\displaystyle u(0)=u(1)$	$\displaystyle=0.$

όπου $D$ είναι ομαλή θετική συνάρτηση.

(a)

Γράψτε ένα αριθμητικό σχήμα με τοπικό σφάλμα διακριτοποίησης τάξης ακρίβειας δύο. Εκφράστε τη μέθοδο και σε μορφή γραμμικού συστήματος.
(b)

Μπορείτε να δείξετε ένα ανάλογο αποτέλεσμα με το Θεώρημα 3.1 $;$

3.8.

Θεωρούμε το πρόβλημα

	$\displaystyle-u^{\prime\prime}(x)+p(x)u^{\prime}+q(x)u(x)$	$\displaystyle=f(x),\quad\text{ με }x\in[0,1],$
	$\displaystyle u(0)=u(1)$	$\displaystyle=0.$

Θεωρούμε έναν ομοιόμορφο διαμερισμό του διαστήματος $[0,1]$ , $a=x_{0}<x_{1}<\dots<x_{N}<x_{N+1}=b$ και συμβολίζουμε με $h=x_{i}-x_{i-1}$ , $i=1,\dots,N+1$ . Αν προσεγγίσουμε τη $u^{\prime}(x)$ με τη $\delta^{-}_{h}u(x)$ είτε με την $\delta^{+}_{h}u(x)$ γράψτε τα αντίστοιχα αριθμητικά σχήματα και βρείτε το τοπικό σφάλμα διακριτοποίησης, καθώς και την τάξη του. Είναι οι μέθοδοι ευσταθείς ή υπό συνθήκη ευσταθείς $;$

3.9.

Θεωρούμε το πρόβλημα

	$\displaystyle-u^{\prime\prime}(x)+p(x)u^{\prime}+q(x)u(x)$	$\displaystyle=f(x),\quad\text{ με }x\in[0,1],$
	$\displaystyle u(0)=u(1)$	$\displaystyle=0.$

Θεωρούμε έναν μη ομοιόμορφο διαμερισμό του διαστήματος $[0,1]$ , $a=x_{0}<x_{1}<\dots<x_{N}<x_{N+1}=b$ και συμβολίζουμε με $h_{i}=x_{i}-x_{i-1}$ , $i=1,\dots,N+1$ .

(a)

Εκφράστε με πεπερασμένες διαφορές την προσέγγιση της πρώτης και της δεύτερης παραγώγου στο $x_{i}$ και βρείτε το τοπικό σφάλμα διακριτοποίησης. Οι προσεγγίσεις πρέπει να είναι συνεπείς, δηλαδή αν $h_{i}$ και $h_{i+1}$ πάει στο μηδέν, τότε το σφάλμα τείνει και αυτό στο μηδέν.
(b)

Χρησιμοποιήστε τα αποτελέσματα του προηγούμενου ερωτήματος για να διατυπώστε ένα σχήμα πεπερασμένων διαφορών για την παραπάνω διαφορική εξίσωση.