3 Πρόβλημα δύο σημείων 3.3 Σύγκλιση της μεθόδου πεπερασμένων διαφορών 3.5 Συνοριακές συνθήκες Neumann

3.4 Μέθοδος ενέργειας

Στο Θεώρημα 3.2 είδαμε ότι αν $q_{\min}>0$ , τότε μπορούμε να δείξουμε ότι τα $U_{i}$ που ικανοποιούν την (3.6)–(3.7) συγκλίνουν στις $u(x_{i})$ , $i=0,\dots,N+1$ , όπου $u$ η ακριβής του (3.1). Σε αυτή την παράγραφο θα δούμε μια διαφορετική απόδειξη της παραπάνω σύγκλισης, όπου $q_{\min}$ μπορεί να μηδενίζεται. Επίσης, αυτή η ανάλυση μας επιτρέπει να δείξουμε εκτιμήσεις σφάλματος παρόμοιες με την (3.21) για προβλήματα συνοριακών τιμών με διαφορετικές συνοριακές συνθήκες, όπως π.χ. με συνθήκες Neumann.

Συμβολίζουμε τώρα με ${\mathbb{R}}^{N+2}_{0}$ τα διανύσματα του ${\mathbb{R}}^{N+2}$ όπου η πρώτη και τελευταία συνιστώσα να είναι ίση με μηδέν, θεωρούμε το εσωτερικό γινόμενο $(\cdot,\cdot)_{h}$ στον $\mathbb{R}^{N+2}_{0}$ , το οποίο ορίζεται ως

(V,W)_{h}=h\sum_{i=1}^{N}V_{i}W_{i},\quad\text{ με }V,W\in\mathbb{R}^{N+2}_{0},

(3.23)

και την αντίστοιχη νόρμα $\|\cdot\|_{h}$ ,

\|V\|_{h}=\bigl(h\sum_{i=1}^{N}|V_{i}|^{2}\bigr)^{1/2},\quad V\in\mathbb{R}^{N% +2}_{0}.

(3.24)

Ακόμα, θεωρούμε και τη νόρμα $|\cdot|_{1,h}$ , στον ${\mathbb{R}}^{N+2}_{0}$

|V|_{1,h}=\bigl(h\sum_{i=0}^{N}|\frac{V_{i+1}-V_{i}}{h}|^{2}\bigr)^{1/2},\quad V% \in\mathbb{R}^{N+2}_{0}.

(3.25)

Το ότι η $|\cdot|_{1,h}$ ορίζει μια νόρμα στον ${\mathbb{R}}^{N+2}_{0}$ μπορούμε εύκολα να το δούμε, επαληθεύοντας τις ιδιότητες (3.19), βλ. Άσκηση 3.1.

Παρατήρηση 3.3.

Από το γεγονός ότι η $(\cdot,\cdot)_{h}$ είναι ένα εσωτερικό γινόμενο και $\|\cdot\|_{h}$ η αντίστοιχη νόρμα, έχουμε ότι ισχύει η ανισότητα Cauchy–Schwarz

|(V,W)_{h}|\leq\|V\|_{h}\,\|W\|_{h},\quad\forall V,W\in\mathbb{R}_{0}^{N+2}.

(3.26)

Στη συνέχεια, θα δείξουμε ανισότητες οι οποίες συνδέουν τις νόρμες (3.24) και (3.25) με τη νόρμα μεγίστου που χρησιμοποιήσαμε στην προηγούμενη παράγραφο.

Λήμμα 3.3.

Αν $V\in{\mathbb{R}}^{N+2}_{0}$ , τότε ισχύουν οι ακόλουθες ανισότητες

$\displaystyle\\|V\\|_{h}$	$\displaystyle\leq\sqrt{b-a}\max_{0\leq i\leq N+1}\|V_{i}\|,$	(3.27)
$\displaystyle\max_{0\leq i\leq N+1}\|V_{i}\|$	$\displaystyle\leq\sqrt{b-a}\,\|V\|_{1,h},$	(3.28)
$\displaystyle\\|V\\|_{h}$	$\displaystyle\leq(b-a)\|V\|_{1,h}.$	(3.29)

Απόδειξη.

Επειδή $(N+1)h=(b-a)$ , εύκολα μπορούμε να δούμε ότι ισχύει η πρώτη ανισότητα (3.27). Για να δείξουμε τη δεύτερη ανισότητα (3.28), παρατηρούμε ότι για $V\in\mathbb{R}^{N+2}_{0}$ και $j=1,\dots,N$ , έχουμε

\begin{split}\displaystyle|V_{j}|^{2}&\displaystyle=|\sum_{i=0}^{j-1}V_{i+1}-V% _{i}|^{2}\leq j\sum_{i=0}^{j-1}|V_{i+1}-V_{i}|^{2}\\ &\displaystyle\leq(N+1)\sum_{i=0}^{N}|V_{i+1}-V_{i}|^{2}=(N+1){h^{2}}\sum_{i=0% }^{N}\left|\frac{V_{i+1}-V_{i}}{h}\right|^{2}\\ &\displaystyle=(b-a)h\sum_{i=0}^{N}\left|\frac{V_{i+1}-V_{i}}{h}\right|^{2}% \leq(b-a)\,|V|_{1,h}^{2}.\end{split}

(3.30)

Τελικά, συνδυάζοντας τις (3.27) και (3.28), παίρνουμε την τελευταία ανισότητα, (3.29). ∎

Παρατήρηση 3.4.

Λόγω του Λήμματος 3.3 και του Θεωρήματος 3.1 μπορούμε εύκολα να δούμε ότι αν θέσουμε $U\in\mathbb{R}_{0}^{N+2}$ με $U=(U_{0},U_{1},\dots,U_{N+1})^{T}$ και $U_{i}$ , $i=0,\dots,N+1$ , τη λύση των (3.6)–(3.7) τότε

\|U\|_{h}\leq C\sqrt{b-a}\max_{x\in[a,b]}|f(x)|,

(3.31)

όπου $C$ είναι η σταθερά της (3.20). Επίσης, αν $E\in\mathbb{R}_{0}^{N+2}$ με $E=(E_{0},E_{1},\dots,$ $E_{N+1})^{T}$ και $E_{i}=U_{i}-u(x_{i})$ , $i=0,\dots,N+1$ , τότε από το Θεώρημα 3.2 έχουμε

\|E\|_{h}\leq Ch^{2}\sqrt{b-a},

(3.32)

όπου $C$ είναι τώρα η σταθερά της (3.21).

Στη συνέχεια, θα δείξουμε ότι η εκτίμηση σφάλματος (3.21) ισχύει και στην περίπτωση που $q_{\min}=0$ . Θα θεωρήσουμε τώρα την απεικόνιση $\Delta_{h}:{\mathbb{R}}^{N+2}_{0}\to{\mathbb{R}}^{N+2}_{0}$ , η οποία ορίζεται ως

\Delta_{h}V_{i}\equiv(\Delta_{h}V)_{i}=\begin{cases}\frac{V_{i+1}-2V_{i}+V_{i-% 1}}{h^{2}},&i=1,\dots,N,\\ 0,&i=0,N+1,\end{cases}

(3.33)

για την οποία ισχύει το ακόλουθο λήμμα.

Λήμμα 3.4.

Για $V,W\in\mathbb{R}^{N+2}_{0}$ έχουμε

-(\Delta_{h}V,W)_{h}=h\sum_{i=0}^{N}\frac{V_{i+1}-W_{i}}{h}\ \frac{W_{i+1}-W_{% i}}{h}.

(3.34)

Απόδειξη.

Από τον ορισμό της $(\cdot,\cdot)_{h}$ , αλλάζοντας τη μεταβλητή στη σειρά άθροισης και χρησιμοποιώντας το γεγονός ότι $W_{0}=W_{N+1}=0$ , παίρνουμε

	$\displaystyle(\Delta_{h}V,W)_{h}$	$\displaystyle=h\sum_{i=1}^{N}\frac{V_{i+1}-2V_{i}+V_{i-1}}{h^{2}}W_{i}$
		$\displaystyle=h\left\{\sum_{i=1}^{N}\frac{V_{i-1}-V_{i}}{h^{2}}W_{i}-\sum_{i=1% }^{N}\frac{V_{i}-V_{i+1}}{h^{2}}W_{i}\right\}$
		$\displaystyle=h\left\{\sum_{i=0}^{N-1}\frac{V_{i}-V_{i+1}}{h^{2}}W_{i+1}-\sum_% {i=1}^{N}\frac{V_{i}-V_{i+1}}{h^{2}}W_{i}\right\}$
		$\displaystyle=h\left\{\sum_{i=0}^{N}\frac{V_{i}-V_{i+1}}{h^{2}}W_{i+1}-\sum_{i% =0}^{N}\frac{V_{i}-V_{i+1}}{h^{2}}W_{i}\right\}$
		$\displaystyle=-h\sum_{i=0}^{N}\frac{V_{i+1}-V_{i}}{h}\,\frac{W_{i+1}-W_{i}}{h}.$

∎

Στη συνέχεια, αποδεικνύουμε ένα παρόμοιο αποτέλεσμα με το Θεώρημα 3.2, όπου τώρα η συνάρτηση $q$ επιτρέπεται να λαμβάνει και μηδενικές τιμές.

Θεώρημα 3.3.

Έστω $U\in\mathbb{R}_{0}^{N+2}$ με $U=(U_{0},U_{1},\dots,U_{N+1})^{T}$ , $U_{i}$ , $i=0,\dots,N+1$ , η λύση του προβλήματος (3.6)–(3.7), όπου $q_{\min}\geq 0$ , και $u$ η λύση του προβλήματος (3.1), με $u\in C^{4}[a,b]$ . Τότε υπάρχει σταθερά $C$ , ανεξάρτητη του $h$ , τέτοια ώστε

\displaystyle\max_{0\leq i\leq N+1}|U_{i}-u(x_{i})|

\displaystyle\leq Ch^{2}.

(3.35)

Απόδειξη.

Χρησιμοποιώντας τον ορισμό της απεικόνισης $\Delta_{h}$ , εύκολα βλέπουμε ότι η εξίσωση σφάλματος (3.22) μπορεί να γραφεί ως

-\Delta_{h}E_{i}+q(x_{i})E_{i}=\eta_{i},\quad i=1,\dots,N.

Στη συνέχεια, πολλαπλασιάζοντας με $E_{i}$ κάθε εξίσωση και αθροίζοντας, παίρνουμε

-(\Delta_{h}E,E)_{h}+h\sum_{i=1}^{N}q(x_{i})|E_{i}|^{2}=(\eta,E)_{h},

(3.36)

όπου $E,\eta\in\mathbb{R}_{0}^{N+2}$ τα διάνυσματα με συνιστώσες $E_{0}$ , $E_{1}$ , $\dots$ , $E_{N+1}$ και $\eta_{0}$ , $\eta_{1}$ , $\dots$ , $\eta_{N+1}$ , αντίστοιχα.

Μπορούμε να παρατηρήσουμε ότι λόγω του Λήμματος 3.4, έχουμε

-(\Delta_{h}V,V)_{h}=|V|_{1,h}^{2},\quad\forall V\in\mathbb{R}^{N+2}_{0}.

(3.37)

Χρησιμοποιώντας τώρα την (3.37) και το γεγονός ότι $q_{\min}\geq 0$ , η (3.36) δίνει

|E|_{1,h}^{2}\leq|E|_{1,h}^{2}+h\sum_{i=1}^{N}q(x_{i})|E_{i}|^{2}=(\eta,E)_{h}% \leq\|\eta\|_{h}\|E\|_{h}.

(3.38)

Επομένως, εφαρμόζοντας την (3.29) στην (3.38), παίρνουμε

|E|_{1,h}\leq(b-a)\|\eta\|_{h},

από όπου, λόγω της (3.28), προκύπτει

\max_{0\leq i\leq N+1}|E_{i}|\leq(b-a)^{3/2}\|\eta\|_{h}.

Στη συνέχεια, λόγω του Λήμματος 3.1, είναι απλό να δούμε ότι

\|\eta\|_{h}\leq Ch^{2},

όπου η σταθερά $C$ είναι ανεξάρτητη του $h$ . Συνεπώς, συνδυάζοντας τις δύο τελευταίες ανισότητες παίρνουμε τη ζητούμενη (3.35). ∎

Παρατήρηση 3.5.

Εύκολα βλέπουμε ότι, αν η συνάρτηση $q$ επιτρέπεται να λαμβάνει και μηδενικές τιμές, τότε λόγω του Θεωρήματος 3.3 και του Λήμματος 3.3, ισχύει η εκτίμηση σφάλματος (3.32).

$\displaystyle\\|V\\|_{h}$	$\displaystyle\leq\sqrt{b-a}\max_{0\leq i\leq N+1}\|V_{i}\|,$	(3.27)
$\displaystyle\max_{0\leq i\leq N+1}\|V_{i}\|$	$\displaystyle\leq\sqrt{b-a}\,\|V\|_{1,h},$	(3.28)
$\displaystyle\\|V\\|_{h}$	$\displaystyle\leq(b-a)\|V\|_{1,h}.$	(3.29)