4.5 Κυβικές splines

Θεωρούμε έναν ομοιόμορφο διαμερισμό του $I=[a,b]$ με βήμα $h=(b-a)/(N+1)$ με κόμβους $x_i=a+ih,i=0,\mathrm{\dots },N+1$, και τον χώρο συναρτήσεων

$$S_h=\{\varphi \in C^2[a,b]:\varphi {|}_{[x_i,x_{i+1]}}.\in {\mathbb{P}}_3,0\le i\le N\},$$

τον λεγόμενο χώρο των κυβικών splines. Μπορούμε να κατασκευάσουμε μια βάση του χώρου $S_h$ ως εξής: η συνάρτηση

είναι η μοναδική συνάρτηση στον χώρο $C^2[-2,2]$ για την οποία $\mathrm{supp}(S)=[-2,2]$, ${S|}_{[k,k+1]}\in {\mathbb{P}}_3$, για $k=-2,-1,0,1$, και, τέλος, $S(\pm 2)=S^{\prime }(\pm 2)=S^{\prime \prime }(\pm 2)=0,S(0)=1$. Χρησιμοποιώντας την $S(x)$ ορίζουμε τις συναρτήσεις $\{{\varphi }_j\}$, $-1\le j\le N+2$, στο $[a,b]$ από τις σχέσεις

$${\varphi }_j(x)=S\left(\frac{x-x_j}{h}\right).|{}_{[a,b]},-1\le j\le N+2,$$

όπου $x_{-1}=a-h$ και $x_{N+2}=b+h$. Είναι εύκολο να δει κανείς ότι ${\varphi }_j\in S_h,-1\le j\le N+2$, ότι αυτές οι συναρτήσεις αποτελούν μια βάση του χώρου $S_h$ [δείτε, για παράδειγμα, (Δουγαλής‚, (2013))] και η προσέγγιση Galerkin $u_h$ από τον χώρο $S_h$ του προβλήματος (4.37) ικανοποιεί την εκτίμηση

$$\parallel u-u_h\parallel \le C{h}^4\parallel u^{(4)}\parallel .$$